Rotationskropp kring sned axel

Området D = {(x,y) : x^2 + y^2 <= 1, x+ y >= 1} roteras ett varv kring linjen x + y = 1. Beräkna volymen av rotationskroppen.

Nu, jag har redan löst problemet genom att först notera att det rör sig om en cirkel med radie 1 där villkoret x + y >= 1  <> y >= 1 - x innebär att arean "ovanför" y = 1 - x skall roteras runt y = 1 - x.  Sedan löste jag den via följande steg:

1: Jag använde Pappos-Guldin;  formeln Volym = V = Area * 2 * pi * (tyngdpunktens avstånd till vridningsaxeln) 

2: Jag skrev om x^2 + y^2 = 1 <> y^2 = 1 - x^2 <-- y = sqrt(1 - x^2)

3: Nu har vi våra två kurvor y = sqrt(1 - x^2)  och y = 1 - x

4: Tog sedan fram arean mellan kurvorna genom en vanlig integral

5: Nu återstår att bestämma tyngdpunkten och tyngdpunktens vinkelräta avstånd till roteringsaxeln

6: Jag bestämde tyngdpunkten genom sambandet total moment = massa * tyngdpunkt (dvs genom en integral...) och det visade sig att x- och y-koordinaten för tyngdpunkten var ekvivalenta.

7: Nu har vi koordinaterna för tyngdpunkten. Det vinkelräta avståndet till rotationsaxeln fick jag genom att använda normalen till y = 1 -x för att få fram punkten på rotationsaxeln där tyngdpunkten "roterar runt". Sedan var det bara att använda avståndsformeln för de två punkterna för att få fram avståndet. 

8: Nu appliceras formeln för de värden vi fått fram.

Problemet är att det tog sammanlagt fem a4-papper med beräkningar för att komma fram till svaret; det är roligt att räkna men på en tenta vill jag helst använda en smart lösning som sparar på tid och papper. Hur skulle du lösa denna med metoder från envariabelanalysen? 

Jag fick alltså rätt svar men facit har löst den med en integral som jag inte förstår hur de tagit fram: 

$\frac{pi}{\sqrt{2}}{\int }_0^1(\sqrt{1-x^2}-(1-x){)}^2 dx = \frac{pi}{\sqrt{2}}(\frac{5}{3}-\frac{pi}{2})$

Integranden är ju på formen pi/sqrt(2) *  (fx - gx)^2 

där (fx - gx) representerar sträckan mellan kurvorna för varje litet "del-segment". 

Facit menar alltså att dV = pi/sqrt(2) * (sträckan mellan kurvorna i kvadrat) där dV är ett litet volymsegment (vi summerar ihop alla dessa volymsegment med integralen.)

Jag förstår dock inte hur de kommer fram till detta? Förklaring till facits svar alternativt en smidig lösning uppskattas!