Rotationsvolym II

Hej,

Har problem med att visualisera och förstå problem rörande rotationsvolym. Följande uppgift får jag inte rätt på:

"Låt det område som begränsas av kurvan $y=ln(x)$ , linjen $x=e$ samt x-axeln rotera kring y-axeln. Visa hur man bestämmer den uppkommna rotationskroppen".

Volym för en kropp vid rotation kring y-axeln kan bestämmas genom integralen:

$V = \int\limits_{a}^b \pi x^2 dy$ där x är radien på "skivan". Så långt så gott. Jag har ritat följande graf:

Jag tolkar det som att uppgiften efterfrågar det triangelformade området till höger. Nu till själva rotationen, jag ritar följande:

Integralen som jag skrivit under grafen tycker jag borde motsvara volymen av "konen" som bildas, dvs där tratten är den streckade linjen och $y=ln(x)$ är dess väggar. Men hur bestämmer jag volymen av hela det rektangel-formade område som innehåller de två trianglar som jag är intresserad av?

Det torde ha längden $2e$ och höjden 1, men vad med "djupet"? I facit är det uttryckt med en integral, och den integral som jag uttryckt för konen subtraheras sedan ifrån detta. Vilket verkar logiskt (konen behövs dras av ifrån ett större område), men jag fattar inte hur jag bestämmer det större området med en integral.

Snygga skisser. Rotationskroppen ser ut som en ring med hål i mitten, där ringens tjocklek ökar från 0 vid den inre radien till 1 vid den yttre radien:

Volymen kan beräknas på lite olika sätt.

Ett sätt är att använda skalmetoden och integrera från x = 1 till x = e.
Ett annat sätt är att använda skivmetoden och integrera skivor med hål i mitten från y = 0 till y = 1.
Ett tredje sätt är att beräkna volymen av hålet i mitten och subtrahera denna volym från volymen av en cirkulär cylinder med radie e och höjd 1. Antagligen är det detta de gjort i facit.

Yngve skrev:
Volymen kan beräknas på lite olika sätt.

Ett tredje sätt är att beräkna volymen av hålet i mitten och subtrahera denna volym från volymen av en cirkulär cylinder med radie e och höjd 1. Antagligen är det detta de gjort i facit.

Hej, tack för ditt svar Yngve.

Det är nog det här med själva hålet som gör att det inte går ihop för mig, jag har svårt att inse att det bildas ett hål eller hur det är dimensionerat. I den färglagda skissen, är det de två blåa områdena som utgör själva hålet efter rotation?

I facit har man svarat:

$\int\limits_{0}^1 \pi e^2 dy - \int\limits_{0}^1 \pi (e^y)^2 dy$

Dvs något större område subtraherat med volymen av tratten som jag har ställt upp en integral för, men jag förstår då inte vad den första integralen härstammar ifrån.

Ah vänta, kanske förstår jag nu. Den första integralen med en radie $e$ , det är alltså om man integrerat hela det rektangulära området (dvs begränsas inte av linjen y =ln(x) ?. Om jag drar av konens volym från detta återstår bara det område som låg utanför konen, i mitt fall blir det de färgade området som jag var ute efter?

krydd skrev:

Hej, tack för ditt svar Yngve.

Det är nog det här med själva hålet som gör att det inte går ihop för mig, jag har svårt att inse att det bildas ett hål eller hur det är dimensionerat.

Tänk dig en cylinder som ligger på x-axeln.

Den cylindern gar radien e och höjden 1.

Tänk dig nu att du gröper ur ett trattformat hål ur cylindern. Hålet har radien e högst upp (dvs vid y = 1) och radien 1 längst ner (dvs vid y = 0)

I den färglagda skissen, är det denna cylinder två blåa områdena som utgör själva hålet efter rotation?

Nej tvärtom, de blåa områdena är det som är kvar av cylindern efter det att hålet gröpts ur.

I facit har man svarat:

$\int\limits_{0}^1 \pi e^2 dy - \int\limits_{0}^1 \pi (e^y)^2 dy$

Dvs något större område subtraherat med volymen av tratten som jag har ställt upp en integral för, men jag förstår då inte vad den första integralen härstammar ifrån.

Den första integralen motsvarar cylinderns volym, innan hålet gröpts ur.

krydd skrev:
Ah vänta, kanske förstår jag nu. Den första integralen med en radie $e$ , det är alltså om man integrerat hela det rektangulära området (dvs begränsas inte av linjen y =ln(x) ?. Om jag drar av konens volym från detta återstår bara det område som låg utanför konen, i mitt fall blir det de färgade området som jag var ute efter?

Ja det stämmer

Yngve skrev:
krydd skrev:
Ah vänta, kanske förstår jag nu. Den första integralen med en radie $e$ , det är alltså om man integrerat hela det rektangulära området (dvs begränsas inte av linjen y =ln(x) ?. Om jag drar av konens volym från detta återstår bara det område som låg utanför konen, i mitt fall blir det de färgade området som jag var ute efter?

Ja det stämmer

Tack Yngve för hjälpen! Detta synsätt gör att allt faller på plats, testade precis att applicera det på ytterligare en uppgift som också lämnade ett "tomrum" i kroppen, och det fungerade där också.

Svara Avbryt

Visa senaste svar