Rotationsvolym kring sned axel

Uppgiften lyder: Området $D = {(x, y) : x^{2} + y^{2} \leq 1, x + y \geq 1}$ roteras ett varv kring linjen $x + y = 1$ . Beräkna volymen av rotationskroppen.

Jag har kommit en bra bit på vägen, men jag lyckas inte få ut det vinkelräta avståndet till rotationsaxeln som behövs för att kunna använda Pappos-Guldins regel.

Det jag fått ut, efter att ha skissat lite, är:

(1) Området som ska roteras:

(2) Ett areaelement:

Från den andra bilden fås att höjden på ett areaelement är $\sqrt{1 - x^{2}} - (1 - x)$ och att elementets area därför ges av $(\sqrt{1 - x^{2}} - (1 - x)) d x$ . Tyngdpunkten (som är markerad med en liten ring i figuren) får ett lodrätt avstånd till linjen $y = 1 - x$ som ges av $\frac{\sqrt{1 - x^{2}} - (1 - x)}{2}$ . Härifrån lyckas jag dock inte ta mig vidare. Hur löser jag ut det vinkelräta avståndet till linjen? I boken har de ett liknande exempel där de skriver att det vinkelräta avståndet ges av $(l o d r ä t a a v s t å n d e t) * \frac{1}{\sqrt{2}}$ , men det står hur de fått fram det. Jag försökte med att skapa en liten triangel där hypotenusans längd är lodräta avståndet, men jag hittade inget vettigt sätt att uttrycka längden på basen.

Några idéer?

Din tyngdpunkt är fel (åtminstone felinprickad i bilden). Tyngdpunkten måste ligga lika långt från punkten (1,0) som från punkten (0,1), d v s den ligger på linjen y = x.

Smaragdalena skrev:
Din tyngdpunkt är fel (åtminstone felinprickad i bilden). Tyngdpunkten måste ligga lika långt från punkten (1,0) som från punkten (0,1), d v s den ligger på linjen y = x.

Bilden är kanske inte så tydlig, men tyngdpunkten jag ritat ut är inte menad som tyngdpunkten för hela kroppen, utan för ett litet lodrätt areaelement som skurits ut.

Eftersom du skrev att du tänker använda dig av Pappos-Guldins regel, är det tyngdpunkten av hela arean som är intressant.

Smaragdalena skrev:
Eftersom du skrev att du tänker använda dig av Pappos-Guldins regel, är det tyngdpunkten av hela arean som är intressant.

Hmm okej. Är det alltid så? Det som står nedan uppfattar jag som att de betraktar ett litet ytelement, som jag gjort, och beräknar dess tyngdpunkt.

Det här är vad jag trodde du menade med att använda Pappos-Guldins regel. Då behöver du bara beräkna en yta och en tyngdpunkt.

Av formuleringen i uppgiften du fotograferade verkar det som om de tycke man skall använda en rektangel (vinkelrät mot rotationsaxeln, alltså) även i den här uppgiften. Har de en lösning lite längre ner på samma sida?

Smaragdalena skrev:
Det här är vad jag trodde du menade med att använda Pappos-Guldins regel. Då behöver du bara beräkna en yta och en tyngdpunkt.
Av formuleringen i uppgiften du fotograferade verkar det som om de tycke man skall använda en rektangel (vinkelrät mot rotationsaxeln, alltså) även i den här uppgiften. Har de en lösning lite längre ner på samma sida?

Ja, det finns en lösning lite längre ned. Dock är rektangeln de använder inte vinkelrät mot rotationsaxeln, utan helt lodrät. De beräknar det lodräta avståndet från rektangelns tyngdpunkt till rotationsaxeln, och sedan gissar jag att de använder sig av en rätvinklig triangel för att få fram det vinkelräta avståndet. Bifogar 2 bilder med deras exempel och deras uträkning.

Jag (tror) jag löst uppgiften på ett giltigt sätt nu. Frågetecknet var egentligen var $\sqrt{2}$ i nämnaren kom ifrån när de beräknar det vinkelräta avståndet. Jag kom fram till att de kanske ställt upp en rätvinklig triangel med vinklarna $90 °, 45 °, 45 °$ så att det vinkelräta avståndet ges av $\sin (45 °) * h y p o t e n u s a n s l ä n g d$

Då gissade jag fel om hur man tänkte lösa uppgiften.

Ja, det verkar rimligt att man man använder "en halv kvadrat" många gånger.

Det vore mycket lättare att hjälpa dig om du ställer den fråga du egentligen vill ha svar på, så att vi slipper gissa så mycket.

Smaragdalena skrev:
Då gissade jag fel om hur man tänkte lösa uppgiften.
Ja, det verkar rimligt att man man använder "en halv kvadrat" många gånger.
Det vore mycket lättare att hjälpa dig om du ställer den fråga du egentligen vill ha svar på, så att vi slipper gissa så mycket.

Ja, frågan jag var ute efter att få besvarad var egentligen: hur hittar man det vinkelräta avståndet till rotationsaxeln i uppgiften?

Är du nöjd med det sättet du har löst uppgiften, eller behöver du mer hjälp? Jag tolkade det som att du var klar, men det händer att jag har fel...

Smaragdalena skrev:
Är du nöjd med det sättet du har löst uppgiften, eller behöver du mer hjälp? Jag tolkade det som att du var klar, men det händer att jag har fel...

Om min metod med en rätvinklig triangel för att få det vinkelräta avståndet är rätt, så känner jag mig nöjd.

Svara Avbryt

Visa senaste svar