Rotationsvolym runt y-axel

Hej,

Kika i denna väldigt långa tråd om uppgiften och se om det kan hjälpa. 

https://www.pluggakuten.se/trad/bestam-volymen-7/

Behöver du fortfarande hjälp, skriv här då.

Bra att du har ritat en bild! Rita även en skiss över hur rotationskroppen ser ut, annars är det väldigt svårt att se hur varje volymselement ser ut, och därmed att få fram rätt integral.

Amela skrev:

Var har jag räknat fel någonstans?

Integralen är fel.

Din integral ger volymen av den rotationskropp som bildas av det blåstreckade områdets rotation kring y-axeln.

Problemet ör att du hoppat direkt in i att sätta upp integralen utan att först ta steget via "hur ser en skiva ut?", "har den hål i sig?", "hur stor är dess radie?", "hur stor är dess area" osv.

Dessa frågor besvaras enklare om du har gjort den skiss som Smaragdalena tipsar om.

Smaragdalena skrev:

Bra att du har ritat en bild! Rita även en skiss över hur rotationskroppen ser ut, annars är det väldigt svårt att se hur varje volymselement ser ut, och därmed att få fram rätt integral.

Blir denna skiss bra?

Yngve skrev:

Amela skrev:

Var har jag räknat fel någonstans?

Integralen är fel.

Din integral ger volymen av den rotationskropp som bildas av det blåstreckade områdets rotation kring y-axeln.

Problemet ör att du hoppat direkt in i att sötta upp integralen utan att först ta steget via "hur ser en skiva ut", "vmhar den hål i sig", "hur stor är dess radie" osv.

Jaha! Jag har fått lära mig direkt att skriva intergral-formen. Hur ska jag tänka med en radie? Är det isåfall den blåa biten jag ska få bort?

Amela skrev:

Jaha! Jag har fått lära mig direkt att skriva intergral-formen. 

OK då förstår jag.

Jag gillar egentligen inte formlerna för beräkning av rotationskroppars volym. De är endast användbara i de allra enklaste fallen.

Hur ska jag tänka med en radie? Är det isåfall den blåa biten jag ska få bort?

Ja, du kan tänka att den efterfrågade volymen är lika med volymen av en cylinder med radie e och höjd 1 minus volymen av "hålet" i cylindern (som du har satt upp ett korrekt integraluttryck för).

=======

Ett annat sätt att tänka är att rotationskroppen byggs upp av ett antal skivor med hål i mitten, där den yttre radien är konstant $r_1=e$ och den inre radien $r_2$ beror av $y$ enligt $r_2=e^y$

En skiva har då arean $\pi {r_1}^2-\pi {r_2}^2=\pi (1^2-(e^y)^2)=\pi (1-e^{2y})$.

Med en tjocklek på $\operatorname dy$ så ger varje skiva ett volymbidrag som är $\pi (1-e^{2y})\operatorname dy$.

Detta blir integranden.som du nu kan integrera från $y=0$ till $y=1$ för att få fram svaret.

Yngve skrev:

Amela skrev:

Jaha! Jag har fått lära mig direkt att skriva intergral-formen. 

OK då förstår jag.

Jag gillar egentligen inte formlerna för beräkning av rotationskroppars volym. De är endast användbara i de allra enklaste fallen.

Hur ska jag tänka med en radie? Är det isåfall den blåa biten jag ska få bort?

Ja, du kan tänka att den efterfrågade volymen är lika med volymen av en cylinder med radie e och höjd 1 minus volymen av "hålet" i cylindern (som du har satt upp ett korrekt integraluttryck för).

=======

Ett annat sätt att tänka är att rotationskroppen byggs upp av ett antal skivor med hål i mitten, där den yttre radien är konstant $r_1=e$ och den inre radien $r_2$ beror av $y$ enligt $r_2=e^y$

En skiva har då arean $\pi {r_1}^2-\pi {r_2}^2=\pi (1^2-(e^y)^2)=\pi (1-e^{2y})$.

Med en tjocklek på $\operatorname dy$ så ger varje skiva ett volymbidrag som är $\pi (1-e^{2y})\operatorname dy$.

Detta blir integranden.som du nu kan integrera från $y=0$ till $y=1$ för att få fram svaret.

 

 

Jaha! Nu förstår jag! Jag löste den. Tack så jättemycket!