Rotationsvolymer: Pyrrhus seger.

Ser jag en kvadrering för mycket?

$$\begin{gathered} {\int }_0^{a/a^2}2\pi rdr \\ 2\pi r är ju en omkrets \end{gathered}$$

Jag ser inte mitt eget 2$\mathrm{\pi }$r :). Var nånståns?

Rita figurer där rotationsaxeln pekar på näsan på dig :-)

Du har använt skivmetoden, inte skalmetoden.

Rotation kring x-axeln:

Eftersom y = a^2 - x^2 är symmetrisk m.a.p. y-axeln så kommer även rotationsvolymen att vara det. Det räcker då att du integrerar från x = 0 till x = a. Detta kommer att bli enklare beräkningar och ger dig halva volymen. Multiplicera sedan med 2 så får du sökt volym (ser du att alla termer har en faktor 2 framför sig i din "fruktansvärda" beräkning?)

Du slarvar lite med beteckningarna här och där. 

• Till exempel: Första termen a^4x blir endast a^4 i nästa steg men sen när du sätter in övre gränsen a blir den termen a^5 igen, så det är OK.
• Du låter övre och undre gränsen stå kvar till höger utanför hakparenteserna även i de tre första stegen efter att du har satt in dem. Det är förvirrande.

Rotation kring y-axeln:

• Du skriver att radien är y och gränserna x-kvadrat, men du använder sedan korrekt radie x och gränserna 0 och a^2.
• Din primitiva funktion är a^2 - y^2/2. Den bör vara a^2y - y^2/2.

Förresten, rotationsvolymen som uppstår vid rotation kring y-axeln lämpar sig alldeles utmärkt för uträkning med hjälp av skalmetoden.

Då tänker vi oss cylindriska skal kring och på ökande avstånd r från y--axeln (r går från 0 till a)

Alla skal står på planet y = 0 och har en höjd y som är lika med a^2 - x^2 = a^2 - r^2.

Alla skal har en omkrets som är 2pi*r och en tjocklek som är dr.

Sorry, det är fullt av slarv, min RAM är så full av svåra saker att jag slarvar ännu mer än vanligt.

Alla skal står på planet y = 0 och har en höjd y som är lika med a^2 - x^2 = a^2 - r^2

Den här är ju genialt, men jag känner att jag måste återkomma till det imorgon för hjärnsocker är slut.

Stor tack iaf och vi pratar imorgon :D

Ok, nu är jag tillbaka men inte mycket klockare tyvärr :(!

Då tänker vi oss cylindriska skal kring och på ökande avstånd r från y--axeln (r går från 0 till a)

ok....

Alla skal står på planet y = 0 och har en höjd y som är lika med a^2 - x^2 = a^2 - r^2:

hmmm, ok... det går väl från f(x) $a^2-x^2$ till noll,

men varför $a^2-r^2$? Varför måste vi sätta a är lika med r?

Jag sätter inte a lika med r utan jag byter variabeln x mot r. Mitt huvud tycker att det blir en tydligare cylinder då.

Men det går lika bra att fortsätta att använda x istället.

Då blir:

Radie x, omkrets 2pi*x, höjd a^2-x^2, dV = 2pi*x (a^2-x^2) dx. x går från 0 till a.

Ok men då är jag med (typ).