(Roterande volymer) Bonjour tristesse 5

En tunn skiva av volymen har radie (5-x^2 + 1). Ett element som är dx tjockt har då volymen pi*(4 - x^2)^2 * dx. Rita ut skivan i din figur. "Lägg ihop", dvs integrera.

1. Här förstår jag inte hur du har kommit fram till din funktion - om man stoppar in x = 0 i din funktion blir radien -4, soch det verkar konstigt. Facit har beräknat $5 - (x^2 + 1) = 4-x^2$, och så har antingen du skrivit av uttrycket för basradien fel eller också har de glömt ett par parenteser i ditt facit.

2. Gör helst en egen tråd för varje uppgift, det blir så rörigt annars! Du kan använda samma bild i nästa tråd, men ange att det är b-uppgiften det handlar om och ta med dina funderingar också (som här). Fast om du tycker att a-uppgiften är färdig, kan du fortsätta med b-uppgiften i den här tråden.

Jag öppnar en Bonjour Tristesse 5bis när jag kommer hem ;)

För a uppgift har jag bytt ursprungliga funktion till x^2-4.

Hur har du kunnat byta den ursprungliga funktionen mot $x^2 - 4$? Titta på skivan där x = 0. Vilken radie har den i ursprungsfunktionen? Den skall ha samma radie i den nya funktionen. (Dessutom kan inte en radie vara mindre än 0.)

Smaragdalena skrev :

Hur har du kunnat byta den ursprungliga funktionen mot $x^2 - 4$? 

Jag tänkte att y axeln byts ut mot y=5. Den ny y=0 gör att parabolen flyttas neråt och har lägsta värde vid -4... Istället för +1.

Det borde kunna fungera så också - om man definierar att beloppet av avståndet mellan x-axeln och funktionen är radien, d v s radien blir $0-(x^2 - 4) = 4 - x^2$.

Daja skrev :

Smaragdalena skrev :

Hur har du kunnat byta den ursprungliga funktionen mot $x^2 - 4$? 

Jag tänkte att y axeln byts ut mot y=5. Den ny y=0 gör att parabolen flyttas neråt och har lägsta värde vid -4... Istället för +1.

Ja du kan göra så.

Du kan låta y = x^2 - 4 rotera kring y = 0 istället för att y = x^2 + 1 roterar kring y = 5.

Men hur ser nu ditt volymselement ut?

Vad har skivan för radie?

Det är inte klart för mig varför radien blir inte $y^2$, dvs $(x-4{)}^2$?

Edit: Jag kanske förstår. Man måste typ släppa tänka i termer av x och y-axeln och kolla vad är radien egentligen, och bara applicera rotationsformeln? Figur:

Så i uppgiften a) blir det som ni säger: $y=5-(x^2+1)$ och integreras som:

$\mathrm{\pi }{\int }_{-2}^{+2}{\left(4-x^2\right)}^2 =\mathrm{\pi }{\int }_{-2}^{+2}16\mathrm{x}-8{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^4 \mathrm{dx}$

Och för b-uppgiften:

radien blir $\sqrt{8x}-2$, ingegralen blir ${\int }_0^4(\sqrt{8x}-2{)}^{2}dy$ tänkte jag först. Faciten säger ${\left(\frac{y^2}{2}-2\right)}^2$. Jag såg sambandet efteråt (radien är ju x-2...) men hur håller man tunga i munnen eller hjärnan på rätt plats när man integrerar? Jag blir fortfarande förvirrad!