Saknar facit - vad är "essentially different" mellan dessa två grupptabeller

Hej!

Min bok saknar facit till denna uppgift och jag undrar om jag har gjort rätt. Uppgiften (20.3.3 i Discrete Mathematics av Biggs) lyder:

"Let $G=\left\{1,a,b,c\right\}$ be a group, where 1 is the identity and $a^2=b^2=c^2=1$ . Using the latin square property, write out the complete group table for G. Give a reason why the latin square obtained from the group table from $\mathbb Z_4$ (with respect to +) is essentially different from the one for $G$ .

Om man skriver ner grupptabellen för $G$ utifrån vad boken ger får man:

+	1	a	b	c
1	1	a	b	c
2	a	1
3	b		1
	c			1

Kollar vi i kolumn a, rad 3 så ser vi att det enda möjliga värdet är c för att uppfylla en latinsk kvadrat. Fortsätter vi så får vi:

+	1	a	b	c
1	1	a	b	c
a	a	1	c	b
b	b	c	1	a
c	c	b	a	1

Sen jämför vi med grupptabellen för $\mathbb Z_4$ med $+$ som jag får till

+	1	2	3	4
1	2	3	0	1
2	3	0	1	2
3	0	1	2	3
4	1	2	3	0

Nu till att försöka hitta "a reason why the latin square obtained from the group table from Z4 (with respect to +) is essentially different from the one for G". Jag tycker detta är en ganska vag fråga. Båda grupper är uppenbarligen kommutativa för att grupptabellerna är diagonalsymmetrisk. Visst att siffrorna är annorlunda från bokstäverna. Men mitt svar skulle vara att skillnaden är att i grupptabellen för Z4 med + så har vi inte bara ettor längs med diagonalen, alltså är varje element inte sin egen invers. Är det ett rimligt svar?

Att det är siffror respektive bokstäver betyder bara att elementen har olika namn. Strukturellt sett skulle grupperna som består av $\{a,b,c,d\}$ respektive $\{0,1,2,3\}$ kunna vara samma. (Notera att $\mathbb{Z}_4$ består av elementen $\{0,1,2,3\}$ , inte $\{1,2,3,4\}$ eller $\{0,1,2,3,4\}$ .)

Vi söker alltså någon strukturell skillnad i hur elementen beter sig. Ditt svar är åtminstone i rätt riktning.

Egentligen räcker det att konstatera att den ena gruppen har element av ordning 4, medan den andra gruppen endast har element av ordning 2 (utöver identitetselementet).

Om två grupper ska vara "ekvivalenta", (isomorfa), så måste varje element i den ena gruppen motsvara ett element av samma ordning i den andra gruppen. Vill man precisera vad "essentially different" betyder här, så menas att grupperna inte är isomorfa.

Tillägg: 18 sep 2025 17:01

Om $G$ är en grupp och $g\in G$ ett element, så säger vi att $g$ har ordning $k$ om $k$ är det minsta positiva heltal sådant att $g^k = e$ , där $e$ är identitetselementet i $G$ .

Om inget sådant $k$ finns så brukar man säga att $g$ har oändlig ordning.

Gustor skrev:
Att det är siffror respektive bokstäver betyder bara att elementen har olika namn. Strukturellt sett skulle grupperna som består av $\{a,b,c,d\}$ respektive $\{0,1,2,3\}$ kunna vara samma. (Notera att $\mathbb{Z}_4$ består av elementen $\{0,1,2,3\}$ , inte $\{1,2,3,4\}$ eller $\{0,1,2,3,4\}$ .)

Vi söker alltså någon strukturell skillnad i hur elementen beter sig. Ditt svar är åtminstone i rätt riktning.

Egentligen räcker det att konstatera att den ena gruppen har element av ordning 4, medan den andra gruppen endast har element av ordning 2 (utöver identitetselementet).

Om två grupper ska vara "ekvivalenta", (isomorfa), så måste varje element i den ena gruppen motsvara ett element av samma ordning i den andra gruppen. Vill man precisera vad "essentially different" betyder här, så menas att grupperna inte är isomorfa.

Tillägg: 18 sep 2025 17:01

Om $G$ är en grupp och $g\in G$ ett element, så säger vi att $g$ har ordning $k$ om $k$ är det minsta positiva heltal sådant att $g^k = e$ , där $e$ är identitetselementet i $G$ .

Om inget sådant $k$ finns så brukar man säga att $g$ har oändlig ordning.

Tack, pinsamt av mig att ställa upp grupptabellen med fel element.

Jag är medveten om begreppen ordning och isomorfi, det har kommit upp i min kurs, men dessa uppgifter är i avsnittet i boken som kommer innan man definierar dessa två begrepp. Så därför gjorde jag ingen koppling till ordning/isomorfi.

Nu förstår jag mer hur jag ska tänka, tack.

En fotnot också är att du (Gustor) har varit väldigt flitig på att svara på mina frågor på sistone (och även förra terminen!) Alltid väldetaljerade och lättförståeliga svar. Det hjälper mig som ny till dessa ämnen otroligt mycket. Stort tack!

Tack, pinsamt av mig att ställa upp grupptabellen med fel element.

Känns som det hör till att syssla med matematik. jag blir ibland osäker på riktigt grundläggande saker och söker upp dem när jag vet att ingen kan se vad jag gör...

Jag skulle notera en generell grupp med multiplikativ notation (identitet skriven 1, gruppoperation som $g\cdot h$ , $gh$ eller $g^5$ osv.) om jag inte vet om den är abelsk/kommutativ, eller om jag vet att den är icke-kommutativ.

Additiv notation (identitet 0, operation skriven $g+h$ , ibland typ $3g = g+g+g$ ) brukar (endast) användas för kommutativa grupper.

Det är riktigt att båda grupperna i detta fall är kommutativa, så det blir lite förvirrande att skriva den ena multiplikativt och den andra additivt.

Jag är medveten om begreppen ordning och isomorfi, det har kommit upp i min kurs, men dessa uppgifter är i avsnittet i boken som kommer innan man definierar dessa två begrepp. Så därför gjorde jag ingen koppling till ordning/isomorfi.

Antar att man ska ha någon slags intuition bara då över hur de olika elementen relaterar olika till varandra. Din observation om att man bara har $1 = e_G$ på diagonalen i tabellen för $G$ men inte endast $0 = e_{\mathbb{Z}_4}$ på diagonalen för $\mathbb{Z}_4$ tycker jag räcker i sådana fall.

En fotnot också är att du (Gustor) har varit väldigt flitig på att svara på mina frågor på sistone (och även förra terminen!) Alltid väldetaljerade och lättförståeliga svar. Det hjälper mig som ny till dessa ämnen otroligt mycket. Stort tack!

Väl bekomme. Tycker bara det är kul, både algebra och kombinatorik (inte speciellt insatt i det senare men läst någon kurs i enumerativ kombinatorik och någon i grafteori).

Svara

Visa senaste svar