Samband mellan förändringshastigheter

SuperCrazyFlipper skrev:

De ger svaret a) att volymändringen är lika med sfärens area ggr delta r. Men om detta skulle verkligen stämma så om när deltar går mot r så ska volymändringen gå mot formeln för en sfärs volym.

Nej så måste det inte vara. Att $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$ innebär att en infinitesimal (väldigt liten) förändring av radien r medför en volymförändring som är lika med arean vid det tillfället multiplicerat med förändringen i radien. Det betyder inte att förändringen i volym är lika med $4\pi r^2\cdot\Delta r$ oavsett hur stor $\Delta r$ är.

Jämför en klassisk derivatafunktion: Om f(x) = x² så är f'(x) = 2x, dvs en infinitesimal förändring av x vid just detta x-värde ger en förändring av f(x) som är lika med 2x. Det betyder inte att f(x₁) - f(x₂) = 2(x₁-x₂) oavsett hur långt det är mellan x₁ och x₂.

Jaha så det gäller endast för väldigt små värden på x. Det kan jag förstå, ungefär som att sin(x) går mot x vid små värden på x. Tack för förståelsen, detta var nämligen ett stort frågetecken för mig.