Samma linjär avbildning i en annan bas

Eftersom det är en rotation och om jag säger "rotera alla vektorer i planet 270 grader moturs" så är denna operation i någon mån basoberoende eftersom den inte behövde specificeras med hänvisning till någon specifik vektor till skillnad från till exempel "Dubblera alla vektorers x-komponenter och lämna y-komponenten oförändrad" där jag måste göra explicit hänvisning till korrdinaterna.

Detsamma gäller med likformig skalning dvs "förläng alla vektorer med en faktor 2 men ändra inte deras riktning" där denna operation har matrisen 2 * enhetsmatrisen oavsett vilken bas jag tar. 

Det är en väldigt kul och viktig observation du har gjort här, Daja. Jag tänker därför att jag kan utveckla det SC skrev lite grann.

Ett typiskt exempel är den linjära avbildningen $T:{\mathrm{ℝ}}^2\to {\mathrm{ℝ}}^2$ definierad genom att den dubblerar längden på input-vektorn. (Detta kallas även skalning med faktorn 2.) Om vi börjar med att bestämma matrisrepresentationen med avseende på standardbasen $\{e_1,e_2\}$ så kommer vi fram till att

   $T\left(e_1\right)=2e_1+0e_2$
   $T\left(e_2\right)=0e_1+2e_2 ,$

dvs.

    $[T{]}_{\{e_1,e_2\}}=\left[\begin{array}{cc}T\left(e_1\right)& T\left(e_2\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right] .$

Slarvigt ritad figur:

Låt nu $\{b_1,b_2\}$ vara en godtycklig bas för ${\mathrm{ℝ}}^2$. Återigen får vi

   $T\left(b_1\right)=2b_1+0b_2$
   $T\left(b_2\right)=0b_1+2b_2 ,$

dvs. matrisrepresentationen för $T$, med avseende på den här basen, är

   $[T{]}_{\{b_1,b_2\}}=\left[\begin{array}{cc}T\left(b_1\right)& T\left(b_2\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right] .$

Slarvligt ritad figur:

Slutsats: Matrisrepresentationen för $T$ är helt basoberoende! Detsamma gäller för alla skalningar, oavsett vad skalfaktorn är. 

Vi låter nu $T:{\mathrm{ℝ}}^2\to {\mathrm{ℝ}}^2$ vara rotation med 90 grader medurs (dvs. den linjära avbildningen i ditt exempel!). Återigen är det enkelt att beräkna matrisrepresentationen med avseende på standardbasen:

   $T\left(e_1\right)=-e_2$
   $T\left(e_2\right)=e_1 ,$

dvs.

    $[T{]}_{\{e_1,e_2\}}=\left[\begin{array}{cc}T\left(e_1\right)& T\left(e_2\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right] .$

Slarvigt ritad figur:

Låter vi nu $\{b_1,b_2\}$ vara en godtycklig ortonormal, positivt orienterad bas (positivt orienterad betyder, löst uttryckt, att det är "närmare" att rotera $b_1$ till $b_2$ moturs än det är att göra det medurs), så kommer vi få precis samma resultat:

   $T\left(b_1\right)=-b_2$
   $T\left(b_2\right)=b_1 ,$

dvs.

    $[T{]}_{\{b_1,b_2\}}=\left[\begin{array}{cc}T\left(b_1\right)& T\left(b_2\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right] .$

Slarvigt ritad figur:

Slutsats: Åtminstone för ortonormala och positivt orienterade baser så är matrisrepresentationen för $T$ basoberoende.

Frågor att fundera på:

1. Vad händer om basen inte är ortonormal och positivt orienterad? Undersök exempelvis vad $T$ har för matrisrepresentation med avseende på följande baser:

• $\{b_1=(2,1{)}^{\top },b_2=(1,2{)}^{\top }\}$
• $\{b_1=(2,0{)}^{\top },b_2=(1,0{)}^{\top }\}$
• $\{b_1=(3,0{)}^{\top },b_2=(0,3{)}^{\top }\}$
• $\{b_1=(0,1{)}^{\top },b_2=(1,0{)}^{\top }\}.$

Rita gärna enkla skissartade figurer i stil med de jag har ritat här, men låt WolframAlpha/numpy/Matlab/whatever göra räknandet åt dig med hjälp av basbytesmatriser (t.ex. så här)! Vad kommer du fram till?

2. Ovan konstaterade vi att följande påstående är sant för vinkeln $\theta =-90°$. Övertyga dig (t.ex. genom att rita en figur) om att det stämmer även för generella vinklar:

Låt $T:{\mathrm{ℝ}}^2\to {\mathrm{ℝ}}^2$ vara rotation moturs med vinkeln $\theta$. Då har $T$ matrisrepresentationen

   $[T]_\mathcal{B}=\begin{bmatrix}\cos(\theta) & -\sin(\theta)\\ \sin(\theta) & \cos(\theta)\end{bmatrix}$

med avseende på varje ortonormal, positivt orientererad bas $\mathcal{B}$ för ${\mathrm{ℝ}}^2$.

Länktips: Om du inte redan har gjort det rekommenderar jag att du någon gång när du får tid tittar på 3blue1brown's Youtube-serie om linjär algebra. Den fick åtminstone detta med linjära avbildningar och matrisrepresentationer att kännas betydligt klarare för mig när jag själv lärde mig det, så det kanske är till någon hjälp för dig också :)

Tack oggih, jag visste inte att jag kunde göra så många casualla basbyte utan att få en hjärnseizure 😎!

Tack för att du har bäddat Wolfram Alpha, inget jag ogillar mer än att fylla på matriser...

Men okej, jag instämmer och är helt övertygad: är inte basen perpendikulär (och högerorienterad) blir det oigenkännbar.

Just precis! Det som behövs är att basen är ortogonal, positvt orienterad och att båda basvektorerna är lika långa. (De behöver inte just vara av enhetslängd, vilket exemplet med $b_1=(3,0)^\top$ och $b_2=(0,3)^\top$ visar.)

Jag kan även passa på att beklaga ett antal felskrivningar i mitt föregående inlägg, som jag upptäckte för sent för att kunna justera själv (men som Smutstvätt nu har rättat till åt mig):

• Matrisresentationerna för rotation med 90 grader medurs, med avseende på en ortogonal, positivt orienterad bas $\{b_1,b_2\}$ där $\Vert b_1\Vert=\Vert b_2\Vert$, är 
     $\begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix}$
  snarare än
     $\color{red}\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}$
  som jag råkade skriva först.
• Den sista basen jag tyckte var värd att kolla skulle lyda $\{b_1=(0,1)^\top,b_2=(1,0)^\top\}$ (det som är speciellt med den är att den inte är positivt orienterad!). Tidigare stod det $\color{red}\{b_1=(0,1)^\top,b_2=(0,1)^\top\}$, vilket inte ens är en bas, eftersom vektorerna inte är linjärt oberoende.
• För att byta bas på en matris $A$ från standardbasen till basen $\{b_1=(2,1)^\top,b_2=(1,2)^\top\}$ så ska man utföra matrismultiplikationen
     $\begin{bmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}^{-1}\,A\,\begin{bmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$
  snarare än
     ${\color{red}\begin{bmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}\,A\,\begin{bmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}^{-1}}.$
  Detta är ett klassiskt misstag, så lägg på minnet att absolut inte göra detta på tentor och liknande! :)

Det är verkligen ingen fara!

Jag trodde att ((0,1), (0,1)) var en fälla :p

Angående tentan, jag lovar ingenting...