Sammansatta funktioner

g(x) beskriver utvärdet av den funktion där två adderas till invärdet.

$$\begin{gathered} f\left(1\right)=1+2=3 \\ f\left(2\right)=2+2=4 \\ f\left(3\right)=3+2=5 \end{gathered}$$ (osv.)

Dessa utvärden är samtidigt invärden i f(x). Vi kan stoppa in alla värden på x i f(x), och därmed även 3, 4, 5 etc. Då får vi:

$$\begin{gathered} f\left(3\right)=9 \\ f\left(4\right)=16 \\ f\left(5\right)=25 \end{gathered}$$.

Så, vi stoppar in ett x i g(x), och g(x) blir det nya "x-värdet" som hamnar i f(x). Eftersom g(x) = x + 2 kan vi stoppa in hela uttrycket direkt. Detta är också varför den inre funktionen begränsar definitionsmängden. Alla värden kan stoppas in i $i\left(x\right)=x+5$, så definitionsmängden borde vara alla tal, men om vår inre funktion är $h\left(x\right)=\sqrt{x}$ kommer våra nya "x-värden" att vara begränsade till ≥ 0. 

Om $f(x)=x^2$ så är $f(g(x))=(g(x))^2$.

Om då $g(x)=x+2$ så är $(g(x))^2=(x+2)^2$ och alltså är $f(g(x))=(x+2)^2$.

Okej nu hänger jag med lite bättre! Men varför skrivs inte vissa x med? Förstår på ett ungefär att de är funktioner av varandra och att det därför inte skrivs med men ändå lite osäker på varför?

Yngve skrev:

Om $f(x)=x^2$ så är $f(g(x))=(g(x))^2$.

Om då $g(x)=x+2$ så är $(g(x))^2=(x+2)^2$ och alltså är $f(g(x))=(x+2)^2$.

 Varför blir det f(g(x))=(g(x))^2?

När man sätter in $g(x)$ i $f(x)$ byter man ju ut $x$ i $f(x)$ mot $g(x)$ så att man får $f(g(x)$. Eftersom vi bytt ut $x$ mot $g(x)$ i vänster led måste vi ju göra samma sak i höger led:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x^2 \\ f\left(g\right(x\left)\right)=\left(g\right(x){)}^2 \end{gathered}$$

lamayo skrev:

 Varför blir det f(g(x))=(g(x))^2?

 Eftersom $f(x)=x^2$ så är

• $f(3)=3^2$
• $f(\pi )=\pi ^2$
• $f(a)=a^2$
• $f(g(x))=g(x)^2$

AlvinB skrev:

När man sätter in $g(x)$ i $f(x)$ byter man ju ut $x$ i $f(x)$ mot $g(x)$ så att man får $f(g(x)$. Eftersom vi bytt ut $x$ mot $g(x)$ i vänster led måste vi ju göra samma sak i höger led:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x^2 \\ f\left(g\right(x\left)\right)=\left(g\right(x){)}^2 \end{gathered}$$

 Aha okej, nu förstår jag! tack för hjälpen!