Sammansättning av absolutbeloppsfunktion och tredjegradspolynom

Funktionen f(x) är sammansatt av absolutbeloppsfunktionen och ett enkelt tredjegradspolynom med heltalskoefficienter. Grafen är plottad här nedan. Ge ett uttryck för denna funktion!

Jag försöker fräscha upp mina matematikkunskaper genom en sommarkurs och har svårt att förstå denna uppgift. Har letat och hittat liknande uppgifter men då med tre nollställen där jag tänker att f(x) = (a-x1)(b-x2)(c-x3) där x1-x3 är de olika nollställena.

Men hur gör jag när det är ett nollställe? Blir det tex f(x) = x^2(4x+5) om man som här tänker att man har ett nollställe i ((ca)-5/4, 0)? Och hur kommer absolutbeloppsfunktionen in i det hela?

Börja med absolutbeloppsoperatorn. Absolutbeloppet av en funktion menas att den delen av funktionen som har negativ värdemängd, speglas i x-axeln upp till den positiva sidan.

Jag tror att man ska kolla på kurvans utseende när den nuddar x-axeln, och se om de "ser bättre ut" (dvs mer liknar ett tredjegradspolynom) om man speglar ena eller andra delen i x-axeln.

Ansätt $f(x)=|a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0|$

Titta på grafen, kan du säga något om $f(0)$ ?

Kan du säga något om lutningen på kurvan i $x=0$ ?

Kan du säga något om andraderivatan för kurvan i $x=0$ ?

Jroth skrev:
Ansätt $f(x)=|a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0|$
Titta på grafen, kan du säga något om $f(0)$ ?
Kan du säga något om lutningen på kurvan i $x=0$ ?
Kan du säga något om andraderivatan för kurvan i $x=0$ ?

Jag tror inte att man ska behöva använda derivata i uppgiften i och med att det ännu inte gåtts igenom på kursen!

JohanF skrev:
Börja med absolutbeloppsoperatorn. Absolutbeloppet av en funktion menas att den delen av funktionen som har negativ värdemängd, speglas i x-axeln upp till den positiva sidan.
Jag tror att man ska kolla på kurvans utseende när den nuddar x-axeln, och se om de "ser bättre ut" (dvs mer liknar ett tredjegradspolynom) om man speglar ena eller andra delen i x-axeln.

Absolutbeloppsfunktionen skulle jag vilja ha till |4x+5| utifrån nollstället, alternativt till - |4x+5| eftersom att det bara gäller för x< - 5/4.

Förstår inte riktigt vad du menar med andra halvan av ditt svar.

juristerkaninteräkna skrev:
JohanF skrev:
Börja med absolutbeloppsoperatorn. Absolutbeloppet av en funktion menas att den delen av funktionen som har negativ värdemängd, speglas i x-axeln upp till den positiva sidan.
Jag tror att man ska kolla på kurvans utseende när den nuddar x-axeln, och se om de "ser bättre ut" (dvs mer liknar ett tredjegradspolynom) om man speglar ena eller andra delen i x-axeln.
Absolutbeloppsfunktionen skulle jag vilja ha till |4x+5| utifrån nollstället, alternativt till - |4x+5| eftersom att det bara gäller för x< - 5/4.
Förstår inte riktigt vad du menar med andra halvan av ditt svar.

Det enda jag menar är att det är kanske lite enklare att analysera tredjegradspolynomet om man först tar bort absolutbeloppoperatorn. Så att man tex inte förleds att tro att det lokala minimat vid x=-1.25 är skapat av polynomet, då det är skapat av absolutbeloppoperatorn.

Fortfarande måste man anta att den sammansatta funktionen ser ut som jroth skrev, men om du först speglar i x-axeln den delen av kurvan som ligger till vänster om x=-1.25 (bryter ner den under x-axeln), så kan du sedan koncentrera dig på de nollställen, max och min, som tredjegradspolynomet måste anpassas till.

Observera att absolutbeloppoperatorn gäller över hela polynomet. För de x-värden där polynomet producerar ett positivt funktionsvärde så opererar absolutbeloppoperatorn inte.

Antingen har en tredjegradsfunktion en positiv koefficient framför tredjegradstermen, och då ser den extremt förenklad ut så här: /, eller så är koefficienten negativ och då ser den ut så här:\. Om man speglar ner den vänstraste delen får man den första varianten, med den högra blir det den andra.

Även om ni inte har gått igenom derivata så borde du kunna se att x= 0 är en dubbelrot.

EDIT: Äsch, en dubbelrot skall ju vara lika med 0 och det var det inte... Feltänk från min sida. Men funktionen f(x)-2 har en dubbelrot för x = 0.

Smaragdalena skrev:
Antingen har en tredjegradsfunktion en positiv korfficienr framför tredjegradstermen, och då ser den extremt förenklad ut så här: /, eller så är koefficienten negativ och då ser den ut så här:\. Om man speglar ner den vänstraste delen får man den första varianten, med den högra blir det den andra.
Även om ni inte har gått igenom derivata så borde du kunna se att x= 0 är en dubbelrot.

x = 0 är en dubbelrot om man drar bort 2 först.

JohanF skrev:
juristerkaninteräkna skrev:
JohanF skrev:
Börja med absolutbeloppsoperatorn. Absolutbeloppet av en funktion menas att den delen av funktionen som har negativ värdemängd, speglas i x-axeln upp till den positiva sidan.
Jag tror att man ska kolla på kurvans utseende när den nuddar x-axeln, och se om de "ser bättre ut" (dvs mer liknar ett tredjegradspolynom) om man speglar ena eller andra delen i x-axeln.
Absolutbeloppsfunktionen skulle jag vilja ha till |4x+5| utifrån nollstället, alternativt till - |4x+5| eftersom att det bara gäller för x< - 5/4.
Förstår inte riktigt vad du menar med andra halvan av ditt svar.
Det enda jag menar är att det är kanske lite enklare att analysera tredjegradspolynomet om man först tar bort absolutbeloppoperatorn. Så att man tex inte förleds att tro att det lokala minimat vid x=-1.25 är skapat av polynomet, då det är skapat av absolutbeloppoperatorn.
Fortfarande måste man anta att den sammansatta funktionen ser ut som jroth skrev, men om du först speglar i x-axeln den delen av kurvan som ligger till vänster om x=-1.25 (bryter ner den under x-axeln), så kan du sedan koncentrera dig på de nollställen, max och min, som tredjegradspolynomet måste anpassas till.
Observera att absolutbeloppoperatorn gäller över hela polynomet. För de x-värden där polynomet producerar ett positivt funktionsvärde så opererar absolutbeloppoperatorn inte.

Ursäkta min dåliga handstil. Om man eliminerar ||-operatorn (som opererar på hela polynomet, enligt jroth's ansats), så ser du i figuren hur tredjegradskurvan egentligen ser ut. Som smaragdalena nämnde så kan tredjegradspolynomet se ut på två sätt, men enligt uppgiftfrågan så behöver man bara hitta ett av alternativen. Så välj ett av alternativen. Då är ditt problem med hur absolutbeloppoperatorn påverkar, lite klarare. Förstår du?

Sedan problemet med beräkningen av polynomet f(x), då man inte gått igenom derivator. Jag tror man kan lista ut det om man noterar nollstället för f(x) samt noterar hur symmetrin ser ut att vara map både x- och y-axel när man flyttar ner kurvan verikalt så att den löper genom origo.

Tack för alla svar! Har tyvärr fortfarande problem att förstå denna uppgift, men tror jag får återgå till denna uppgift efter att kursen gått igenom derivata. Har insett nu att vissa uppgifter bygger på saker som tas fram längre fram i kursen, vilket blir svårt i och med att det var över fem år sedan jag läste matte 4 eller matte öht.

Kanske återkommer jag till denna tråd med funderingar igen om några veckor när polletten förhoppningsvis fallit ner lite mer :)

Man behöver inte bry sig om derivata alls i den här uppgiften. Folk börjar prata om derivata bara för att det är rätt verktyg för att analysera generella polynom, men uppgiften är gjord för att det ska gå bra med det man vet innan man har lärt sig om derivator.

juristerkaninteräkna skrev:
Jroth skrev:
Ansätt $f(x)=|a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0|$
Titta på grafen, kan du säga något om $f(0)$ ?
Kan du säga något om lutningen på kurvan i $x=0$ ?
Kan du säga något om andraderivatan för kurvan i $x=0$ ?
Jag tror inte att man ska behöva använda derivata i uppgiften i och med att det ännu inte gåtts igenom på kursen!

Du har lagt uppgiften i Ma4. Derivata lär man sig i Ma3. Antingen får du använda derivata för att lösa uppgiften, eller också har du lagt frågan på fel nivå. Varifrån kommer uppgiften? /moderator

Smaragdalena skrev:
juristerkaninteräkna skrev:
Jroth skrev:
Ansätt $f(x)=|a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0|$
Titta på grafen, kan du säga något om $f(0)$ ?
Kan du säga något om lutningen på kurvan i $x=0$ ?
Kan du säga något om andraderivatan för kurvan i $x=0$ ?
Jag tror inte att man ska behöva använda derivata i uppgiften i och med att det ännu inte gåtts igenom på kursen!
Du har lagt uppgiften i Ma4. Derivata lär man sig i Ma3. Antingen får du använda derivata för att lösa uppgiften, eller också har du lagt frågan på fel nivå. Varifrån kommer uppgiften? /moderator

Högskolekurs som är repetetion av gymnasiets matematik. Dispositionen är dock annorlunda än gymnasiematten.

juristerkaninteräkna skrev:
Smaragdalena skrev:
juristerkaninteräkna skrev:
Jroth skrev:
Ansätt $f(x)=|a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0|$
Titta på grafen, kan du säga något om $f(0)$ ?
Kan du säga något om lutningen på kurvan i $x=0$ ?
Kan du säga något om andraderivatan för kurvan i $x=0$ ?
Jag tror inte att man ska behöva använda derivata i uppgiften i och med att det ännu inte gåtts igenom på kursen!
Du har lagt uppgiften i Ma4. Derivata lär man sig i Ma3. Antingen får du använda derivata för att lösa uppgiften, eller också har du lagt frågan på fel nivå. Varifrån kommer uppgiften? /moderator
Högskolekurs som är repetetion av gymnasiets matematik. Dispositionen är dock annorlunda än gymnasiematten.

Men även om det förmodligen är tänkt att man ska använda kunskaper om derivator för att lösa den här uppgiften så jag tycker nästan att uppgiften blir bättre ifall man inte känner till något om derivator, utan får använda lite mer intuition och symmetritänkande istället. Vi kan försöka ändå, om du vill?

Om man först förenklar problemställningen lite, genom att först flytta ner kurvan vertikalt två hack så att den går genom origo (se figur). Då ser man att den den verkar vara väldigt symmetrisk på olika sätt, kanske f(x)=-f(-x). Vilka av konstanterna a3, a2, a1, a0 i jroths ansättning av tredjegradspolynomet, måste man ta bort (dvs vara noll), för att åstadkomma en sådan form av symmetri?

JohanF skrev:
juristerkaninteräkna skrev:
Smaragdalena skrev:
juristerkaninteräkna skrev:
Jroth skrev:
Ansätt $f(x)=|a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0|$
Titta på grafen, kan du säga något om $f(0)$ ?
Kan du säga något om lutningen på kurvan i $x=0$ ?
Kan du säga något om andraderivatan för kurvan i $x=0$ ?
Jag tror inte att man ska behöva använda derivata i uppgiften i och med att det ännu inte gåtts igenom på kursen!
Du har lagt uppgiften i Ma4. Derivata lär man sig i Ma3. Antingen får du använda derivata för att lösa uppgiften, eller också har du lagt frågan på fel nivå. Varifrån kommer uppgiften? /moderator
Högskolekurs som är repetetion av gymnasiets matematik. Dispositionen är dock annorlunda än gymnasiematten.
Men även om det förmodligen är tänkt att man ska använda kunskaper om derivator för att lösa den här uppgiften så jag tycker nästan att uppgiften blir bättre ifall man inte känner till något om derivator, utan får använda lite mer intuition och symmetritänkande istället. Vi kan försöka ändå, om du vill?
Om man först förenklar problemställningen lite, genom att först flytta ner kurvan vertikalt två hack så att den går genom origo (se figur). Då ser man att den den verkar vara väldigt symmetrisk på olika sätt, kanske f(x)=-f(-x). Vilka av konstanterna a3, a2, a1, a0 i jroths ansättning av tredjegradspolynomet, måste man ta bort (dvs vara noll), för att åstadkomma en sådan form av symmetri?

Visa spoiler

För att symmetrin ska bli uppfylld i det förenklade fallet, måste $a_{0}, a_{1}, a_{2}$ vara noll. dvs $f (x) = a_{3} x^{3}$ . Uppgiftens kurva är offsettad 2 steg i vertikalled ( $f (0) = 2$ ), dvs den offsettade kurvan blir $f (x) = a_{3} x^{3} + 2$ .

Sedan vet vi att $f (- 1.25) = 0$ (ungefär). Det ger $f (x) = x^{3} + 2$

Så jag tror svaret på uppgiften kan vara funktionen $|x^{3} + 2|$

Svara Avbryt

Visa senaste svar