Samtliga primitiva funktioner

Nja du går som katten kring het gröt. OK att du skriver om kvadratrötterna.

Låt mig göra en del, förhoppningsvis förtydligande kommentarer:

$f(x)\sqrt{\dfrac{2x}{3}}-\sqrt{\dfrac{2}{x}}=$(räkneregel för kvadratrötter)

$=\sqrt{\dfrac{2}{3}\cdot x}-\sqrt{2\cdot\dfrac{1}{x}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot x^{0.5}-\sqrt{2}\cdot x^{-0.5}$.

OK nu är f(x) omskrivet som två termer där varje term är en konstant gånger en x-potens.

Nu tillämpar vi en räkneregel för primitiva funktioner av potensfunktioner.

Minnesregel för potensfunktioner : "Gradtalshöjning vid integrering - gradtalssänkning vid derivering"

Vi landar i

$F(x)=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot \dfrac{x^{{\color{red}0.5+1}}}{{\color{red}0.5+1}}-\sqrt{2}\cdot\dfrac{x^{{\color{red}-0.5+1}}}{{\color{red}(-0.5+1)}}+C$. Fullbordar du uppgiften själv?

Om du är osäker på din primitiva funktion kan du kontrollera genom att derivera den och se om du får tillbaka ursprungsfunktionen.

LennartL skrev:

Om du är osäker på din primitiva funktion kan du kontrollera genom att derivera den och se om du får tillbaka ursprungsfunktionen.

Försvinner inte bara roten ur och 2x/3 är kvar med potensen 1,5? som primitiv funktion?

dr_lund skrev:

Nja du går som katten kring het gröt. OK att du skriver om kvadratrötterna.

Låt mig göra en del, förhoppningsvis förtydligande kommentarer:

$f(x)\sqrt{\dfrac{2x}{3}}-\sqrt{\dfrac{2}{x}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}\cdot x}-\sqrt{2\cdot\dfrac{1}{x}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot x^{0.5}-\sqrt{2}\cdot x^{-0.5}$.

OK nu är f(x) omskrivet som två termer där varje term är en konstant gånger en x-potens.

Nu tillämpar vi en räkneregel för primitiva funktioner av potensfunktioner.

Minnesregel för potensfunktioner : "Gradtalshöjning vid integrering - gradtalssänkning vid derivering"

Vi landar i

$F(x)=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot \dfrac{x^{{\color{red}0.5+1}}}{{\color{red}0.5+1}}-\sqrt{2}\cdot\dfrac{x^{{\color{red}-0.5+1}}}{{\color{red}(-0.5+1)}}+C$. Fullbordar du uppgiften själv?

Testar. Hmm okej. Alla potenser i täljarna och nämnarna förvirrade en del.

$F\left(x\right) = \sqrt{\frac{2}{3}}\times \frac{x^{0,5+1}}{0,5+1}-\sqrt{2}\times \frac{x^{-0,5+1}}{(0,5+1)}+C$

= $$\begin{gathered} Roten ur försvinner \\ {\left(\frac{2x}{3}\right)}^{1,5}- 2{\left(2x\right)}^{0,5} + C \end{gathered}$$

Så va?

Kontrollderivera din lösning enl Lennarts tips - stämmer  det?

dr_lund skrev:

Kontrollderivera din lösning enl Lennarts tips - stämmer  det?

Nu stämmer det verkar det som. Ändrade om