Sannolikhetslära

Börja med att undersöka sannolikheten för att en bok som ursprungligen lånats i V lämnas tillbaka i V efter 1, 2, 3 ... gånger. Jag skulle böjra med att göra ett träddiagram för att sedan se hur det utvekclar sig.

Moni1 skrev:

Hej, jag undrar på vad ska jag tänke på för att lösa denna uppgiften 

i en bostad finns det två bibliotek V och W där man kan lämna tillbaka bökar i båda bibliotek oberoende av var de har lånat dem.

baserat på information vi har så vet vi att en bok lånat i V återlämnas i V med sannolikhet 0.7, och att en bok lånat från W återlämnas i W med sannolikheten 0.8 

a) beräkna sannolikheten att en bok som är lånat ut i V återlämnas i V efter n gånger, dvs lånat ut n gånger  Alltså hur ska jag tänka här för att lösa uppgiften 

b) vilken andel av bokarna kommer att befinna sig i bibliotek V respektive W efter lång tid. 
i denna uppgiften tänker jag mig att vi först ska lösa uppgift a och sedan med hjälp av svar vi får i uppgift a ska vi kunna lösa denna

uppgiften 

tack på förhand 

borde inte det vara 0.7^n på första frågan. 

Nej, det kan ju  vara så att boken lånas på V, lämnas tillbaka på W och därefter lånas på W och lämnas tillbaka till V, så att den "kommer hem igen".

jag tänker mig så här att för varje bok som lönats ut finns det två val, den ena att lämnas tillbaka till V eller att den lämnas till W, Så efter n gångar blir det 2^n*0.7, där n står för n-gångar. ser detta rätt ut

Nej, om boken till exempel lånas tre gånger kan den gå vägarna aaa, aba, aab, baa, abb, bab, bba eller bbb och den slutar på a i fyra av fallen, men de har olika sannolikhet. (Jag bytte bokstäver för att V och W ser nästan likadana ut när de är många i en följd, så det blev svårläst.)

ska vi nu säga att sannolikheten att boken slutar i V efter tre gångar blir : P(aaa)+P(aba)+P(baa)+P(bba), Där 

P(aaa)= 0.7^3

P(aba)=0.7^2*0.8

P(baa)=0.8*0.7^2

P(bba) =0.8^2*0.7

men hur ska jag tillämpa detta så att det gäller för n gångar 

Nej, du har missat att räkna med att term nummer 2 och 3 finns i 3 exemplar vardera.

Som jag skrev i mitt första inlägg: Rita ett träddiagram för t ex n = 1, 2, 3, 4, 5. Räkna ut den totala sannolikheten för att en bok är "hemma i V" efter n lån. När du har så mycket fakta kanske det går att se ett mönster, annars bör du rita en våning till i träddiagrammet.

Om jag bara tittar på P₃ så gissar jag att man kan ha nytta av binominalsatsen...

hej, igen 

kan vi tänka oss att vi har n böker vi ska plasera på två platser A och B, så binomialfördelning ger P(att boken återlämnas till A efter n gånger)= n över k *0.7^k*(1-0.7)^n-k 

dvs vi har 1*0.7^n = 0.7^n 

Moni1 skrev:

hej, igen 

kan vi tänka oss att vi har n böker vi ska plasera på två platser A och B, så binomialfördelning ger P(att boken återlämnas till A efter n gånger)= n över k *0.7^k*(1-0.7)^n-k 

dvs vi har 1*0.7^n = 0.7^n 

Stämmer det med vad du kom fram till för n = 3 i inlägg #7?

Om n=3 så blir det (a+b)^3=$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)*0.7^2*0.3^1 \\ \left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)*0.7^1*0.3^2 \\ \left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)*0.7^0*0.3^3 \end{gathered}$$

så om mitt formel ska stämma måste #7 vara lika som resultatet ovan eller hur 

Och det är det inte.

Smaragdalena skrev:

Nej, du har missat att räkna med att term nummer 2 och 3 finns i 3 exemplar vardera.

Som jag skrev i mitt första inlägg: Rita ett träddiagram för t ex n = 1, 2, 3, 4, 5. Räkna ut den totala sannolikheten för att en bok är "hemma i V" efter n lån. När du har så mycket fakta kanske det går att se ett mönster, annars bör du rita en våning till i träddiagrammet.

Om jag bara tittar på P₃ så gissar jag att man kan ha nytta av binominalsatsen...

men vad menas med att jag har missat att räkna med att term nummer 2 och 3 finns i 3 exemplar vardera. 

sedan är jag osäker på hur jag ska rita träddiagrammet, kan du visa mig hur ska jag börja

tack på förhand 

Ingår markovkedjor i kursen?

ja MarkovChebyshev ingår i kursen 

matrisen blir: [0.7 0.8; 0.3 0.2] där 0.7 är sannolikhet att boken lånat ut i A är tillbaka till A, 0.8 att boken lämnas till B 

0.3: ATT boken lånat i A lämnas i B, och 0.2 att boken lånat i B lämnas till A

MEN VAD BLIR 

startvektorn och radvektor 

Hej, igen kommer träddiagrammet att se så här 

I a-uppg vet du att du börjar på v, så startvektorn blir sannolikhet 1 på v och 0 på w. Om det var det du menade?

Ok, nu har vi start vektor, en matris som är i bilden men vad ska vi göra nu

Jag hade nog svarat som du gjort på a, alltså startvektorn gånger matrisen upphöjt till n. Sen är det ju bara läsa av siffran på v:s plats i svaret.

I b frågar de efter en stationär fördelning. Hur brukar du hitta dem?