Sannolikhetsteori

Det första problemet är att din variabelsubstitution
ger två nya variabler som inte är oberoende av varandra. 
Därav fallerar mycket av den sannolikhetsteori du har lärt dig.

Ett bättre alternativ hade nog vart att låta:
$$\begin{gathered} u = x+y \\ v =\hspace{0.17em}x-y \end{gathered}$$

Det andra problemet är att du glömt definiera om gränserna för densiteten:
$$\begin{gathered} 0 < x \Rightarrow 0 < u + v \Rightarrow -u < v \\ 0 < y \Rightarrow 0 < u - v \Rightarrow v < u \end{gathered}$$

Dessa gränser behöver vara med när du integrerar:
$f\left(u\right) =\hspace{0.17em}{\int }_{-u}^{u}f\left(u,v\right)dv$
$f\left(v\right) =\hspace{0.17em}{\int }_{\left|v\right|}^{\infty }f\left(u,v\right)du$