Sätt y = x3 + 2. Beräkna dx/dy med implicit derivering och använd det för att hitta (f^-1)'(x)

$\frac{d{x}^3}{dy}=\frac{d{x}^3}{dx}·\frac{dx}{dy}$.

f^-1(f(x)) = x

y = f(x) => f^-1(y) = x.

df^-1(y)/dy = dx/dy = 1/(3x²). y = x³ + 2 => x = (y-2)^1/3.

Kommer du vidare?

Jag fattar inte varför man behöver sätta in $x={(y-2)}^{1/3 }$i $\frac{1}{3x^2}$ , och varför ska en derivata med avseende på x ha y som variabel?

$\frac{d}{dx}{f}^{-1}\left(f\right(x\left)\right)=\frac{1}{f\text{'}\left(x\right)}, så \frac{d}{dx}{f}^{-1}\left(f\right(x\left)\right)=\frac{1}{3x^2}$, men varför behöver man ta steget att lägga in x = (y-2)^1/3?

Du hade ju redan beräknat dx/dy och uppgiften säger att du skall utnyttja detta för att lösa resten av uppgiften. Sedan är det väl lämpligt att uttrycka det i y så att man får df^-1(y)/dy = någonting där y är variabeln. Sedan kan man byta namn på y till x för att få df^-1(x)/dx.

Så $y=x^3+2 => 1=\frac{dx}{dy}3x^2\iff \frac{dx}{dy}=\frac{1}{3x^2} \iff \frac{dy}{dy}=\frac{1}{3{(y-2)}^{2/3}} \iff \frac{d}{dx}=\frac{1}{3{(x-2)}^{2/3}}$?

Vet inte exakt vad facit tänkt sig. Min gissning gavs i #3.

Annars hade jag nog startat från f(f^-1(x)) = x och deriverat båda led samt utnyttjat kedjeregeln för att i slutändan få att

df^-1(x)/dx = 1/f’(f^-1(x)).

Men även i detta fall så måste man beräkna f^-1(x) om man vill ha ett fullständigt svar, men då kan man väl lika gärna derivera f^-1(x) direkt, så jag ser inte riktigt vad facit är ute efter.

Kan du visa facit?