Separabel diff.ekvation 1:a ordningen

Hej!
Jag har hittar inte riktigt vad jag gör för fel som leder till annat svar än facit.
Se nedan:

Uppgift: $(1 + x^{2}) y' + 2 x y = 2 x$

Lösning:

$(1 + x^{2}) y' = 2 x - 2 x y = 2 x (1 - y) \leftrightarrow (1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = 2 x (1 - y) \leftrightarrow (1 + x^{2}) d y = 2 x (1 - y) d x \leftrightarrow \frac{1}{1 - y} d y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$
$\leftrightarrow \int \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}}$
Var för sig: $\int \frac{1}{1 - y} d y = / 1 - y = t, \frac{d t}{d y} = - 1 / = - \int \frac{1}{t} d t = - \ln |t| + C_{1} = / t = 1 - y / = - \ln |1 - y| + C_{1}$
$\int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x = / 1 + x^{2} = t, \frac{d t}{d x} = 2 x / = \int \frac{1}{t} d t = \ln |t| + C_{2} = / t = 1 + x^{2} / = \ln |1 + x^{2}| + C_{2}$

Således:

$\ln |1 + x^{2}| + C_{2} = - \ln |1 - y| + C_{1}, C_{1} + C_{2} = C \ln |1 + x^{2}| + C = - \ln |1 - y|$ ,
Löser ut y: $e^{\ln |1 + x^{2}| + C} = e^{- \ln |1 - y|} \leftrightarrow (1 + x^{2}) e^{C} = \frac{1}{1 - y} \leftrightarrow \frac{1}{(1 + x^{2}) e^{C}} = 1 - y \to y = 1 - \frac{1}{(1 + x^{2}) e^{C}} a l t y = 1 - \frac{e^{- C}}{1 + x^{2}}$
Rätt svar: $y = 1 + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Oj, vilken soppa det blev. Det ser ut som om det är du som gjort något fel också trots att du inte har det. PA kan vara märkligt ibland.

Vi har:

$\left(1+x^2\right)\dfrac{dy}{dx} + 2xy=2x$

Du separerar det till:

$\dfrac{1}{1-y}dy=\dfrac{2x}{1+x^2}dx$

Löser sedan integralerna och får fram lösningen:

$y\left(x\right) = 1 - \dfrac{e^{-C}}{1+x^2}$

Vilket är rätt svar. Du frågar nu varför detta skiljer sig från facit som ger:

$y\left(x\right) = 1 + \dfrac{C}{1+x^2}$

Tänk på att $C$ i deras svar är vilken konstant som helst och du kan helt enkelt designera en ny i ditt svar enligt:

$C_1 =- e^{-C}$

Detta ger:

$y\left(x\right) = 1 +\dfrac{C_1}{1+x^2}$

Svara Avbryt