Separation av variabler -värmeledningsproblem

Obs: Fallet $\lambda=0$ ger en icke-trivial konstant lösning $X(x) = a_0$.

Du har nog inte utnyttjat superpositionsprincipen.

Du har tagit fram att varje av funktionerna $u_n\left(x,t\right) = X_n\left(x\right) T_n\left(t\right) = C_n \cos\left(nx\right) e^{-n^2t}$ är en lösning till PDE:n (som är linjär) med de givna randvillkoren (som är homogena). Det innebär att deras superposition också löser PDE:n med randvillkoren:

$\displaystyle u\left(x,t\right) = \sum_{n=0}^\infty u_n\left(x,t\right) = \sum_{n=0}^\infty C_n \cos\left(nx\right) e^{-n^2t}$.

Detta är den sökta lösningen till hela problemet. Det återstår att hitta alla $C_n$.

Begynnelsevillkoret $u(x,0) = f(x)$ har följande uttryck i VL:

$\displaystyle u\left(x,0\right) = \sum_{n=0}^\infty C_n \cos\left(nx\right) e^{-n^2\cdot0} = \sum_{n=0}^\infty C_n \cos\left(nx\right)$

Man söker alltså alla $C_n$ så att

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty C_n \cos\left(nx\right) = f\left(x\right)$

Man behöver alltså utveckla $f(x)$ till en cosinusserie. Därmed behöver $f$ utvidgas till en jämn funktion

$\displaystyle f_{\text{jämn}}\left(x\right) = \left\{ \begin{array}{rl}5\ \ & -\pi/4 < x < \pi/4 \\ -2\ \ & -\pi < x \le -\pi/4\text{ eller } \pi/4 \le x < \pi \end{array}\right.$

och det är denna jämna funktion som utvecklas till en fourierserie. $C_n$ är alltså fourierkoefficienterna till $f_{\text{jämn}}$. (Notera dock att $C_0 = a_0/2$)

Att en funktion är jämn innebär att dess graf är symmetrisk i y-axeln. Den givna funktionen $f$ var endast definierad för positiva $x$ (fram till $\pi$), så det fanns ingen sådan symmetri. Man måste alltså själv se till att göra $f$ till en jämn funktion genom att spegla de givna värdena i $y$-axeln, d.v.s. $f_{\text{jämn}}(x) = f(|x|)$ för $-\pi < x < \pi$.

Tips: Rita grafen till den givna funktionen $f(x)$ och spegla den i $y$-axeln. På så sätt får du se vad den jämna utvidgningen blir.

LuMa07 skrev:

Obs: Fallet $\lambda=0$ ger en icke-trivial konstant lösning $X(x) = a_0$.

Du har nog inte utnyttjat superpositionsprincipen.

Du har tagit fram att varje av funktionerna $u_n\left(x,t\right) = X_n\left(x\right) T_n\left(t\right) = C_n \cos\left(nx\right) e^{-n^2t}$ är en lösning till PDE:n (som är linjär) med de givna randvillkoren (som är homogena). Det innebär att deras superposition också löser PDE:n med randvillkoren:

$\displaystyle u\left(x,t\right) = \sum_{n=0}^\infty u_n\left(x,t\right) = \sum_{n=0}^\infty C_n \cos\left(nx\right) e^{-n^2t}$.

Detta är den sökta lösningen till hela problemet. Det återstår att hitta alla $C_n$.

Begynnelsevillkoret $u(x,0) = f(x)$ har följande uttryck i VL:

$\displaystyle u\left(x,0\right) = \sum_{n=0}^\infty C_n \cos\left(nx\right) e^{-n^2\cdot0} = \sum_{n=0}^\infty C_n \cos\left(nx\right)$

Man söker alltså alla $C_n$ så att

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty C_n \cos\left(nx\right) = f\left(x\right)$

Man behöver alltså utveckla $f(x)$ till en cosinusserie. Därmed behöver $f$ utvidgas till en jämn funktion

$\displaystyle f_{\text{jämn}}\left(x\right) = \left\{ \begin{array}{rl}5\ \ & -\pi/4 < x < \pi/4 \\ -2\ \ & -\pi < x \le -\pi/4\text{ eller } \pi/4 \le x < \pi \end{array}\right.$

och det är denna jämna funktion som utvecklas till en fourierserie. $C_n$ är alltså fourierkoefficienterna till $f_{\text{jämn}}$. (Notera dock att $C_0 = a_0/2$)

Att en funktion är jämn innebär att dess graf är symmetrisk i y-axeln. Den givna funktionen $f$ var endast definierad för positiva $x$ (fram till $\pi$), så det fanns ingen sådan symmetri. Man måste alltså själv se till att göra $f$ till en jämn funktion genom att spegla de givna värdena i $y$-axeln, d.v.s. $f_{\text{jämn}}(x) = f(|x|)$ för $-\pi < x < \pi$.

Tips: Rita grafen till den givna funktionen $f(x)$ och spegla den i $y$-axeln. På så sätt får du se vad den jämna utvidgningen blir.

Jag kan visa min lösning på fall 1 där lambda =0 där X(x) blir 0 och u(x,t)=0 pga trivial lösning så får vi ta det därifrån. Jag använde båda randvillkoren. Se bilderna nedan.

Jag förstår inte hur du har utvidgat f till en jämn funktion(du har hoppat över dessa steg) .

Ingenstans i din lösning står det att $c_2=0$. Det innebär att man kan välja det reella talet $c_2$ helt fritt. Då har du alltså hittat lösningen $X(x) = c_2$, där $c_2$ är ett godtyckligt reellt tal.

LuMa07 skrev:

Ingenstans i din lösning står det att $c_2=0$. Det innebär att man kan välja det reella talet $c_2$ helt fritt. Då har du alltså hittat lösningen $X(x) = c_2$, där $c_2$ är ett godtyckligt reellt tal.

Hm ok. Ja dess derivata är 0 och sen stoppar man in x=pi som ska ge X'(pi)=0. Ja det var lite dumt att anta att c2 blir 0. Behöver jag då hitta allmän lösning för T(t) med fallet lambda=0 också? Den blir ju bara T(t)=C3 precis som X(x)?

destiny99 skrev:

... Den blir ju bara T(t)=C3 precis som X(x)?

Exakt!

LuMa07 skrev:

destiny99 skrev:

... Den blir ju bara T(t)=C3 precis som X(x)?

Exakt!

Ok. Jag tittade på någon som pratade på even and odd extension of a function. Den even delen så förstod jag som att det ska bli såhär. Funktionen ska bli symmetrisk kring y-axeln som du sa. Är det rätt att göra så? Då får jag Cn är lika med detta nedan: