Ser ni några mönster i dessa rationella tal?

Hej!

Idag spenderade jag en massa tid på att försöka beräkna 

$\displaystyle I_n = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left(\frac{\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)-\ln\left(\dfrac{1}{y}\right)}{\ln\left(\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)\right)-\ln\left(\ln\left(\dfrac{1}{y}\right)\right)}\right)^{n}dxdy$

för små $n$.

Jag har fått fram att

$\displaystyle I_1 = \frac{7}{\pi^{2}}\zeta\left(3\right)$

$\displaystyle I_2 = \frac{186}{\pi^{4}}\zeta\left(5\right)-\frac{7}{\pi^{2}}\zeta\left(3\right)$

$\displaystyle I_3= \frac{5715}{\pi^{6}}\zeta\left(7\right)-\frac{372}{\pi^{4}}\zeta\left(5\right)$

$\displaystyle I_4 = \frac{214620}{\pi^{8}}\zeta\left(9\right)-\frac{19050}{\pi^{6}}\zeta\left(7\right)+\frac{186}{\pi^{4}}\zeta\left(5\right)$

$\displaystyle I_5 = \frac{9672075}{\pi^{10}}\zeta\left(11\right)-\frac{1073100}{\pi^{8}}\zeta\left(9\right)+\frac{43815}{2\pi^{6}}\zeta\left(7\right)$

($\zeta(s)$ är Riemanns Zetafunktion)

Det finns några saker som sticker ut, exempelvis är den generella termen har formen $\frac{r_m}{\pi^{2n}}\zeta\left(2n+1\right)$, där $r_m$ är ett rationellt tal och $n$ heltal  $> 1$. Om detta alltid stämmer vet jag inte, men jag åtgår från att det är så.

Det jag undrar, ser ni några mönster i de rationella koefficienterna? Jag ser absolut ingenting. Jag är rätt nyfiken på hur den generella formen kan se ut för $I_n$, men att beräkna dem för hand blir svårare och svårare ju högre $n$ är. Om någon är nyfiken kan jag förklara hur jag beräknar dem, det kanske finns ett bättre sätt?