Serie

Jag har inte kommit längre.

Du får inte flytta in exponenter i imaginärdelsfunktionen hur som helst. $Im(e^{i\theta }{)}^n$ är inte lika med $Im\left(e^{in\theta }\right)$ eftersom ${\sin }^n\left(\theta \right)\ne \sin \left(n\theta \right)$.

Dessvärre har jag ingen idé om hur man kan lösa denna uppgift.

Här följer en tämligen bökig uträkning med användande av diverse trig-identiteter. Kolla särskilt upp "summa till produkt"-identiterna om du är osäker på dem; jag har använt två av dem.

$$\begin{gathered} \sum _{k=1}^n\sin k\theta =\hspace{0.17em}Im \sum _{k=1}^n{e}^{ik\theta }\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}Im \sum _{k=1}^n(e^{i\theta }{)}^k =[geometrisk summa] \\ = Im \frac{(e^{i\theta }{)}^{n+1}-e^{i\theta }}{e^{i\theta }-1} =\hspace{0.17em}[förläng med nämnarens konjugat] \\ = Im \frac{e^{in\theta }-1-e^{i(n+1)\theta }+e^{i\theta }}{2-(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}=\frac{1}{2-2 \cos \theta }Im (e^{in\theta }-1-e^{i(n+1)\theta }+e^{i\theta }) \\ = \frac{1}{2}\frac{1}{1-\cos \theta }(\sin n\theta - \sin (n+1)\theta + \sin \theta ) \\ = \frac{1}{4 {\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}}(-2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{(2n+1)\theta }{2} + 2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}) \\ = \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2 \sin \frac{\theta }{2}}}(\cos \frac{\theta }{2} - \cos \frac{(2n+1)\theta }{2}) =\hspace{0.17em}\frac{\sin {\displaystyle \frac{n\theta }{2}}{\displaystyle \sin }{\displaystyle \frac{(n+1)\theta }{2}}}{\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}} \\ \hspace{0.17em} \end{gathered}$$