3 svar
59 visningar
Wilar 191
Postad: 22 dec 2018 14:15

Serie

Hej! Sitter med serienk=1 sin(k)·tan1kk och ska avgöra huruvida den konvergerar/divergerar. Försöker ta mig fram med hjälp av olika kriterier, men kommer ingen riktig vart. Något tips?

Laguna 15205
Postad: 22 dec 2018 14:28

Kan du säga något om förhållandet mellan x och tan(x) när x är litet? 

Albiki 5320
Postad: 22 dec 2018 17:45

Hej!

När 0<x<10<><>  är xtanx=x2+o(x4)x\tan x = x^2+o(x^4) vilket ger

    sink·tan1kk=1ktan1k·ksink=(1k2+o(k-4))·ksink={1kk+o(k-3.5)}·sink\frac{\sin k \cdot \tan \frac{1}{k}}{\sqrt{k}} = \frac{1}{k} \tan \frac{1}{k} \cdot \sqrt{k}\sin k = (\frac{1}{k^2} + o(k^{-4}))\cdot \sqrt{k} \sin k = \{\frac{1}{k\sqrt{k}} + o(k^{-3.5})\}\cdot \sin k.

Albiki 5320
Postad: 22 dec 2018 17:51

Om kk är tillräckligt stort -- större än ett visst positivt heltal k*k* -- så gäller det för resttermen att

    o(k-3.5)1kk.o(k^{-3.5}) \leq \frac{1}{k\sqrt{k}}.

Det medför att för k>k*k > k* gäller det att

    sink·tan1kk2kk·sink2kk.\frac{\sin k \cdot \tan \frac{1}{k}}{\sqrt{k}} \leq \frac{2}{k\sqrt{k}} \cdot \sin k \leq \frac{2}{k\sqrt{k}}.

Svara Avbryt
Close