serier e^x

b) Ja, då hänvisar du till integraltestet som säger att summan konvergerar om och endast om

$\displaystyle\int_1^\infty\frac{1}{1+e^x}\ dx$

konvergerar. Du ställer sedan upp olikheten:

$\displaystyle\int_1^\infty\frac{1}{1+e^x}\ dx\leq\int_1^\infty\frac{1}{x^2}\ dx=1$

Eftersom den högra integralen konvergerar, konvergerar även den vänstra. Således konvergerar även summan.

Det går även att strunta i integralerna. På samma sätt som du får integralolikheten får du ju även:

$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{1+e^x}\leq\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}$

Det är rätt vanligt att man betraktar det som känt att den högra summan konvergerar (på engelska kallar man det för p-series).

c) Här tycker jag inte man behöver blanda in integraler över huvud taget. Om du jämför

$\displaystyle\sum_{j=4}^\infty\frac{1+j+\ln(j)}{j^2-1}$

med

$\displaystyle\sum_{j=4}^\infty\frac{1}{j}$

(förslagsvis genom att visa att gränsvärdet av deras kvot är lika med ett)

får du att eftersom den harmoniska serien divergerar divergerar även din summa.

Tack Alvin...

Dessa summor känns så random!

Hej!

Uppgift c. Konjugatregeln låter dig skriva termerna

    $\frac{1}{j-1} + \frac{\ln j}{j^2-1} > \frac{1}{j-1} + 0$ när $j\geq 4.$

Den harmoniska serien är divergent vilket medför att serien i Uppgift c också är divergent.

Uppgift b. Det gäller att

    $1 + e^{k}\geq k^2$ när $k\geq 1$

vilket ger det övre begränsningen

    $\frac{1}{1+e^{k}} \leq \frac{1}{k^2}.$

Serien

    $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$

är en berömd konvergent serie varför serien i Uppgift b är konvergent.

Tack till alla.

Det kommer mer serier idag:)