Serier och generaliserade integraler

Hej!

Uppgiften lyder: Visa att $\sum_{k = 1}^{\infty} k e^{- k^{2}}$ är konvergent med summa $< \frac{3}{2 e}$ .

Vet inte riktigt hur jag ska lösa den här, har testat lite såhär:

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{e^{k^{2}}} \geq \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{e^{k^{2}}} \Leftrightarrow \int_{1}^{n} \frac{1}{e^{x^{2}}} d x$ , jag jämförde orginalsumman med en lättare summa som ser nästan likadan ut. Dock känns integralen jag fått fram alldeles för svår?

Tips på hur man kan starta i en sån här uppgift och om jag har gjort något fel i egna beräkningar skulle jag vara tacksam om ni sa till för!

Låt $a_K = f(K)$ . Vi har olikheten

$a_{K+1} + \dots + a_{N} <= \int_{K}^N f(x) dx$ då $f(x)$ är positiv och icke-växande.

Funktionen $xe^{-x^2}$ har anti-derivata $-\frac{e^{-x^2}}{2} + C$ för någon konstant $C$ .

Låt $K = 1$ och $N$ gå mot oändligheten, du får då integralen på högra sidan i olikheten till $\frac{1}{2e}$ . Eftersom $K = 1$ så måste du lägga till $a_{1} = \frac{1}{e}$ på båda sidor i olikheten. Du får då resultatet.

Konvergens visar du enkelt med kvottestet.

Svara Avbryt