Seriernas konvergens (Matematik/Universitet/Övrigt)

f₁ är kontinuerlig i intervallet (-pi, pi). Så Fourierserien konvergerar mot f₁(x) då x ligger i intervallet (-pi, pi). f₁ är diskontinuerlig i x = pi och då konvergerar serien mot medelvärdet av höger- och vänstergränsvärde.

f₂ ser ut att vara kontinuerlig så serien konvergerar mot funktionsvärdet överallt.

PATENTERAMERA skrev:
f₁ är kontinuerlig i intervallet (-pi, pi). Så Fourierserien konvergerar mot f₁(x) då x ligger i intervallet (-pi, pi). f₁ är diskontinuerlig i x = pi och då konvergerar serien mot medelvärdet av höger- och vänstergränsvärde.

f₂ ser ut att vara kontinuerlig så serien konvergerar mot funktionsvärdet överallt.

Hur kan f1 vara kontinuerlig i [-pi,pi]? F1 är diskontinuerlig i x=pi och 0 ju. Se mitt svar i #1

Kontinuerlig i (-pi, pi), inte [-pi, pi]. f₁ är kontinuerlig i 0 då $\lim_{x \to 0} f_{1} (x) = 0 = f_{1} (0) .$
Så enda diskontinuiteten är i pi (+n2pi).

Rita grafen så ser du.

PATENTERAMERA skrev:
Kontinuerlig i (-pi, pi), inte [-pi, pi]. f₁ är kontinuerlig i 0 då $\lim_{x \to 0} f_{1} (x) = 0 = f_{1} (0) .$
Så enda diskontinuiteten är i pi (+n2pi).

Rita grafen så ser du.

Hänger inte med på skillnaderna mellan kontinuitet i [-pi,pi] och (-pi,pi). Varför gäller ej diskontinuitet i x=-pi? Jag kan köpa att då vi närmar oss x=0 höger och vänster sida så är båda gränsvärde lika.

I det första intervallet [-pi, pi] så ingår ändpunkterna. I det andra intervallet (-pi, pi) så ingår inte ändpunkterna. Funktionen är diskontinuerlig i x = -pi och x = pi.

PATENTERAMERA skrev:
I det första intervallet [-pi, pi] så ingår ändpunkterna. I det andra intervallet (-pi, pi) så ingår inte ändpunkterna. Funktionen är diskontinuerlig i x = -pi och x = pi.

vilka intervall pratar du om? vi vet ju att f₁(x) är definierad i slutet intervall [-pi,pi]. Men den funktionen är styckvis. Kan man inte bara tänka att det finns hopp i x=-+pi som jag tänkte i inlägg #1? Vad gäller x=0 så hade jag fel att det finns hopp där för den är ju kontinuerlig då vänster och högergränsvärde är lika.

F1 är definierad för pi men inte för-pi.

f₁ är definierad för alla x eftersom det står att den har perioden 2pi. Så man behöver bara ange dess värde på det givna intervallet för att veta dess värde överallt.

PATENTERAMERA skrev:
f₁ är definierad för alla x eftersom det står att den har perioden 2pi. Så man behöver bara ange dess värde på det givna intervallet för att veta dess värde överallt.

Jag förstår inte hur f1 är definierad för alla x när man ser tydligt att x=-pi inte är med. Hur ska man använda konvergenssatsen här? Regeln är ju att när det finns hopp så är det medelvärdet som fourierserien av f konvergerar mot. Men är det någon sats man ska ha i åtanke just när uppgiften börjar med att f1 , f2 har perioden 2pi i intervallet [-pi,pi] för att avgöra att f1 är kontinuerlig överallt? Jag är ganska förvirrad över hur man ska svara på hur fourierserien konvergerar enligt konvergenssatsen. Du säger först att x=-pi och x=pi är funktionen diskontinuerlig men sen har vi att den har perioden 2pi som säger något om kontinuitet?

PATENTERAMERA skrev:
eftersom det står att den har perioden 2pi.

Just det. Rätt.

Det tänkte jag inte på.

destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
f₁ är definierad för alla x eftersom det står att den har perioden 2pi. Så man behöver bara ange dess värde på det givna intervallet för att veta dess värde överallt.

Jag förstår inte hur f1 är definierad för alla x när man ser tydligt att x=-pi inte är med. Hur ska man använda konvergenssatsen här? Regeln är ju att när det finns hopp så är det medelvärdet som fourierserien av f konvergerar mot. Men är det någon sats man ska ha i åtanke just när uppgiften börjar med att f1 , f2 har perioden 2pi i intervallet [-pi,pi] för att avgöra att f1 är kontinuerlig överallt? Jag är ganska förvirrad över hur man ska svara på hur fourierserien konvergerar enligt konvergenssatsen. Du säger först att x=-pi och x=pi är funktionen diskontinuerlig men sen har vi att den har perioden 2pi som säger något om kontinuitet?

Det står att perioden är 2pi. f₁(-pi) = f₁(-pi + 2pi) = f₁(pi) = pi².

Rita funktionens graf så borde det bli klarare.

PATENTERAMERA skrev:
destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
f₁ är definierad för alla x eftersom det står att den har perioden 2pi. Så man behöver bara ange dess värde på det givna intervallet för att veta dess värde överallt.

Jag förstår inte hur f1 är definierad för alla x när man ser tydligt att x=-pi inte är med. Hur ska man använda konvergenssatsen här? Regeln är ju att när det finns hopp så är det medelvärdet som fourierserien av f konvergerar mot. Men är det någon sats man ska ha i åtanke just när uppgiften börjar med att f1 , f2 har perioden 2pi i intervallet [-pi,pi] för att avgöra att f1 är kontinuerlig överallt? Jag är ganska förvirrad över hur man ska svara på hur fourierserien konvergerar enligt konvergenssatsen. Du säger först att x=-pi och x=pi är funktionen diskontinuerlig men sen har vi att den har perioden 2pi som säger något om kontinuitet?

Det står att perioden är 2pi. f₁(-pi) = f₁(-pi + 2pi) = f₁(pi) = pi².

Rita funktionens graf så borde det bli klarare.

Ja men jag begriper inte varför man ska göra så. Boken har skrivit så när de förklarar att funktionen är 2pi periodisk. Vad hände med konvergens satsen som uppgiften vill att man använder för att svara på frågan?

Funktionen är kontinuerlig överallt utom i pi (+n2pi). I alla kontinuerliga punkter konvergerar serien mot funktionsvärdet. I de diskontinuerliga punkterna konvergerar den mot medelvärdet av höger- och vänstergränsvärde.

Vad är oklart?

PATENTERAMERA skrev:
Funktionen är kontinuerlig överallt utom i pi (+n2pi). I alla kontinuerliga punkter konvergerar serien mot funktionsvärdet. I de diskontinuerliga punkterna konvergerar den mot medelvärdet av höger- och vänstergränsvärde.

Vad är oklart?

Det du säger är konvergens satsen om jag förstär dig rätt?

Ja. Kolla satsen själv. Har inte er bok så jag vet inte exakt hur den är formulerad i boken.

PATENTERAMERA skrev:
Ja. Kolla satsen själv. Har inte er bok så jag vet inte exakt hur den är formulerad i boken.

Uttryckligen står det så i boken.

Men jag vill gärna veta varför min lösning är felaktig i #1.

Du har ju bara studerat konvergensen i två punkter. Man vill säkert att du klargör konvergensen för alla x.

PATENTERAMERA skrev:
Du har ju bara studerat konvergensen i två punkter. Man vill säkert att du klargör konvergensen för alla x.

Hur kan det vara så att jag ska klargöra konvergens för alla x? Jag tänker mig att det var dessa två punkter vi skulle fokusera på i #1. Det brukar vara typiskt så man gör.

Det står att man skall förklara vad serierna konvergerar mot. Det står ingenting om att man endast skall titta på konvergensen för vissa värden på x. Så jag antar att man skall täcka in alla x.

PATENTERAMERA skrev:
Det står att man skall förklara vad serierna konvergerar mot. Det står ingenting om att man endast skall titta på konvergensen för vissa värden på x. Så jag antar att man skall täcka in alla x.

Ok. Så hur gör man för att täcka in alla x för specifika funktionerna? Man ska alltså titta på konvergensen för specifika x=-+pi samt x=0 och sen för alla andra x eller ?

Se #2.

PATENTERAMERA skrev:
Se #2.

Se ändring i #21.

Se #2.

PATENTERAMERA skrev:
Se #2.

Jag hänger inte med på #2.

Vad är oklart?

PATENTERAMERA skrev:
Vad är oklart?

"f₁ är kontinuerlig i intervallet (-pi, pi). Så Fourierserien konvergerar mot f₁(x) då x ligger i intervallet (-pi, pi)"

1) hur vet man att f₁(x) är kontinuerlig i (-pi,pi) och inte [-pi,pi] ?

2) vilket x ligger i intervallet i (-pi,pi)?

3) när du skriver att fourierserien konvergerar mot f₁(x) , vad menar du?

1) Skissa funktionens graf, med hänsyn till att den har period 2pi. Det borde vara uppenbart var den är diskontinuerlig.

2) Förstår inte frågan.

3) Om du sätter in ett visst värde på x i serien så konvergerar den punktvis mot f₁(x). Tex om du sätter x = -1 i serien så konvergerar den mot f₁(-1) = 0.

PATENTERAMERA skrev:
1) Skissa funktionens graf, med hänsyn till att den har period 2pi. Det borde vara uppenbart var den är diskontinuerlig.

2) Förstår inte frågan.

3) Om du sätter in ett visst värde på x i serien så konvergerar den punktvis mot f₁(x). Tex om du sätter x = -1 i serien så konvergerar den mot f₁(-1) = 0.

1) hur skissar man en sån funktion? Menar du att jag ska skisssa f₁(x)?

2) du skrev ju att x ligger i intervallet (-pi,pi) i#2 och då undrar jag vilket x är det du menar?

3)hur vet man att tex x=-1 insättes i serien så konvergerar den mot f₁(-1)=0?

1) Ja skissa f₁(x).

2) Vilket x som helst som ligger i det intervallet.

3) För x = -1 så konvergerar serien mot (f₁(-1-) +f₁(-1+))/2 = f₁(-1) eftersom f₁ är kontinuerlig i x = -1.

PATENTERAMERA skrev:
1) Ja skissa f₁(x).

2) Vilket x som helst som ligger i det intervallet.

3) För x = -1 så konvergerar serien mot (f₁(-1-) +f₁(-1+))/2 = f₁(-1) eftersom f₁ är kontinuerlig i x = -1.

1) Ok

2) tex x=0?

3) varför tittar vi på medelvärdet för f1(x) när du samtidigt påstår att f1(x) är kontinuerlig i x=-1? Jag hänger inte med här. Man använder ju medelvärdet när f inte är kontinuerlig i någon punkt.

En skiss av f₁(x)

Nja, det ser inte rätt ut.

PATENTERAMERA skrev:

Oj jag förstår inte din skiss. Vänligen gör en bättre och förståelig skiss. Jag vet tyvärr inte hur man förväntas rita en bra skiss av f₁(x). Vill du besvara min fråga i #31 i 2) och 3)?

Det är en skiss av f₁. Det är så den ser ut. Kolla definitionen av f₁ igen.

2) Ja, tex x=0.

3) Det funkar lika bra då den är kontinuerlig eftersom båda gränsvärdena är lika med funktionsvärdet i en kontinuerlig punkt.

PATENTERAMERA skrev:
Det är en skiss av f₁. Det är så den ser ut. Kolla definitionen av f₁ igen.

2) Ja, tex x=0.

3) Det funkar lika bra då den är kontinuerlig eftersom båda gränsvärdena är lika med funktionsvärdet i en kontinuerlig punkt.

Var är definitionen av f1(x)?

Så regeln med medelvärdet av vänster och högergränsvärde gäller både när f är kontinuerlig i punkten x och även när den inte är det?

Vad är definitionen av f1(x)?

Det står i problemtexten.

PATENTERAMERA skrev:
Det står i problemtexten.

Aa du menar det är definierad i (-pi,0) eller (0,pi)?

Texten talar om att f₁ har perioden 2pi och specificerar speciellt hur den ser ut den ser ut under en period - intervallet (-pi, pi]. Utanför detta intervall så bestäms värdet av periodiciteten.

PATENTERAMERA skrev:
Texten talar om att f₁ har perioden 2pi och specificerar speciellt hur den ser ut den ser ut under en period - intervallet (-pi, pi]. Utanför detta intervall så bestäms värdet av periodiciteten.

Ok. Men just hur detta ska se ut i bild för jag ritade ju inte korrekt bild. Jag har fortfarande svårt att begripa din bild.

Börja med att rita hur funktionen ser ut på intervallet (-pi, pi]. Upprepa sedan periodiskt.

PATENTERAMERA skrev:
Börja med att rita hur funktionen ser ut på intervallet (-pi, pi]. Upprepa sedan periodiskt.

Jag körde fast vid hur jag ska skissa detta.

Börja med att skissa i intevallet (-pi, pi]. Upprepa sedan mönstret periodiskt (2pi).

PATENTERAMERA skrev:

Hur upprepas detta med 2pi?

PATENTERAMERA skrev:
Börja med att skissa i intevallet (-pi, pi]. Upprepa sedan mönstret periodiskt (2pi).

Om jag förstår dig rätt så börjar vi från -pi och till pi och sen går vi från 2pi till 4pi vilket jag tror det är vad du menar med att upprepa sig med 2pi?

Först -pi < x <= pi. Sedan pi < x <= 3pi osv.

PATENTERAMERA skrev:
Först -pi < x <= pi. Sedan pi < x <= 3pi osv.

Jaha det är alltid 2pi skillnad mellan varje gång den upprepar sig.

Ja.