Sfärisk kalott

Har du ritat?

Parameterframställning av en buktig yta betyder x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) där u,v varierar inom ett visst område. I det första fallet kallas u, v för theta,fi men x=2 sin u cos v, y=2 sin u sin v, z=2 cos u. Sätter man in dom uttrycken i x^2+y^2+z^2 kommer man att få exakt 4, alltså den givna kalotten. Med u mellan noll och pi/3 blir z mellan 1 och 2. Hur kommer man på den här parameterframställningen? I det här fallet är den välkänd som den vi använder för platser på jorden. Då är u och v ungefär latitud och longitud.

Det jag inte är med på är hur kommer man fram till att x=2sinucosv, y=2sinusinv, z=2cosu utan att veta svaret från början?

 Det är de vanliga sfäriska koordinaterna: https://sv.wikipedia.org/wiki/Sf%C3%A4riska_koordinater

okej nu förstår jag.  Men då vi har $x^2$  och inte x hur  blir då x= 2sinucosv eftersom det är (sinucosv)^2

$0\le \phi \le 2\pi$ kommer av longituden av sfären, men jag är inte med på hur man får fram $0\le \theta \le \pi /3$

Idil M skrev :men jag är inte med på hur man får fram $0\le \theta \le \pi /3$

 Enligt din uppgift ska $z\ge 1$

Som du säkert känner till är $z=r\cos \left(\theta \right)$ i sfäriska koordinater. Din "sfär" som ska bli en kalott har radien 2. Nu undrar vi för vilka vinklar $\theta$  $z\ge 1$. Vi undersöker brytpunkten z=1!

$z=1\Rightarrow 2\cos \left(\theta \right)=1\Rightarrow \theta =\frac{\pi }{3} ty 0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ (annars hamnar vi vid fel pol)

Vår slutsats blir därför att $0\le \theta \le \frac{\mathrm{\pi }}{3}$ för att uppnå kravet $z\ge 1$

Okej då tror jag att jag förstår. När det kommer till att beräkna arean så har jag formeln:

A=$4\pi *r^2$ 

Svaret ska bli 4$\pi$. Detta gör ju att radien måste vara 1 så det totalt blir $A=4\pi *1^2$=$4\pi$ men om min radie är 2 stämmer ju inte svaret då blir det ju istället $4\pi *2^2=16\pi$

Radien för den stora (tänkta) sfären som du har skurit av en kalott från är 2, men din kalott är ju bara överdelen! När z = 1 är radien 1, och sedan blir radien mindre och mindre ju större z är.

Okej tack så mycket, då förstår jag den areaberäkningen.

Men när det kommer till sista uppgiften blir det lite krångligare där har R^2 ersatt 4 och z>h istället för 1

Har du försökt att göra likadant, men sätta in R och h i stället för siffror?

ja jag bytte ut och satte $x^2+y^2+z^2=R^2$ samt z$\ge h$ och $0\le h\le R$

Formeln för arean är ju $4\pi *r^2$

Svaret ska bli $2\pi R(R-h)$ och dit kommer jag inte.

Jag ser ju att det är 2 pi och formeln är 4 så någonstans måste det ju halveras, ska man ta halva R multiplicerat med 4pi?

Hur stor är arean av den cirkel som man får om man skär av kalotten på höjden h?

Hej Idil M,

Den sfäriska kalotten $\tau$ i uppgift c ges av dubbelintegralen (över ytan, med det sfäriska ytelementet)

$\iint_\tau r^2\sin\left(\theta\right)d\theta\;d\phi=\int_0^{2\mathrm\pi}\int_0^\frac{\mathrm\pi}3r^2\sin\left(\theta\right)d\theta\;d\phi=8\pi\left[-\cos\left(\theta\right)\right]_0^\frac\pi3=4\mathrm\pi$

Edit: Får väl lägga in en bild på ekvationen istället.

När du sedan vill beräkna kalotten för en godtycklig höjd h får du samma integral, men där integrationen i $\theta$ ska gå från 0 till $arccos(\frac{h}{R})$

hm jag är inte helt med. När jag löste c uppgiften förut använde jag mig av formeln för Arean A=$4\pi \times r^2$ 

För uppgift d blir det ju krångligare.

Jag försöker att följa ditt exempel men har inte riktigt fått till det.

Idil M skrev :

hm jag är inte helt med. När jag löste c uppgiften förut använde jag mig av formeln för Arean A=$4\pi \times r^2$ 

För uppgift d blir det ju krångligare.

Jag försöker att följa ditt exempel men har inte riktigt fått till det.

 

Formeln $A=4\pi r^2$ är arean av en sfär med radien r. Kan du ha blandat ihop arean av din kalott med arean av en sfär?

 

Kan du förklara varifrån du fått din formel?

Guggle skrev :

Idil M skrev :

hm jag är inte helt med. När jag löste c uppgiften förut använde jag mig av formeln för Arean A=$4\pi \times r^2$ 

För uppgift d blir det ju krångligare.

Jag försöker att följa ditt exempel men har inte riktigt fått till det.

 

Formeln $A=4\pi r^2$ är arean av en sfär med radien r. Kan du ha blandat ihop arean av din kalott med arean av en sfär?

 

Kan du förklara varifrån du fått din formel?

 Formeln för arean hittade jag här http://www.formelsamlingen.se/alla-amnen/matematik/geometri/klot-sfar

Svaret till fråga b bestäm en normalvektor ska vara r=(x,y,z) men jag är inte säker på hur man ska få fram det.

Idil M skrev :

Svaret till fråga b bestäm en normalvektor ska vara r=(x,y,z) men jag är inte säker på hur man ska få fram det.

 Då tar vi en sak i taget! För det första är en kalott inte en hel sfär utan ett segment av en sfär.

Du kan spana in följande länk till formelsamlingen

Notera att de använder avståndet h som avståndet mellan polen och segmentets start i z-led. I ditt fall är h istället avståndet mellan origo och det plana snittet.

Jag förutsätter att du läser flervariabelanalys hoppas att du i din lärobok har ett kapitel som heter "Area av buktig yta" eller parameterframställningar, eller liknande på engelska.

Där bör det framgå att när du har en parameterframställning för ytan S:$\mathbf{\tau}=\mathbf{\tau}(\theta,\varphi)$

bildar kryssprodukten

$\mathbf n=\frac{\partial \tau}{\partial \theta}\times\frac{\partial \tau}{\partial\varphi}$

en normal till ytan S

Ja, flervariabelanalys är det :)

okej, i detta fall har jag $\tau (\theta ,\phi )=2\sin \theta \cos \phi ,2\sin \theta \sin \phi ,2\cos \theta$ men hur jag ska få det till r=(x,y,z) är jag inte med på.

$\frac{\partial\tau}{\partial\theta}=r(cos(\theta)cos(\varphi),cos(\theta)sin(\varphi),-sin(\theta))$

$\frac{\partial\tau}{\partial\varphi}=r(-sin(\theta)sin(\varphi),sin(\theta)cos(\varphi),0)$

$\frac{\partial\tau}{\partial\theta}\times\frac{\partial\tau}{\partial\varphi}=r^2sin(\theta)(\sin(\theta)\cos(\varphi),\sin(\theta)\sin(\varphi),\cos(\theta))$

Denna vektor är en normal till vår sfär. Om byter tillbaka till rektangulära koordinater ser vi att normalen pekar i riktning (x,y,z). Längden är arean av det parallellogram som spänns av de två vektorerna. Av detta brukar man bilda det vektoriella ytelementet $d\mathbf{S}=\frac{\partial\tau}{\partial\theta}\times\frac{\partial\tau}{\partial\varphi}\operatorname d\theta\operatorname d\varphi$

Absolutbeloppet av det vektoriella ytelementet  $\left|\mathbf{dS}\right|$ $=r^2\sin(\theta)d\theta d\varphi$ använder vi när vi beräknar ytintegralen:

$\iint_\tau r^2\sin(\theta)d\theta\;d\phi=\int_0^{2\mathrm\pi}\int_0^\frac{\mathrm\pi}3r^2\sin(\theta)d\theta\;d\phi=8\pi\left[-\cos\left(\theta\right)\right]_0^\frac\pi3=4\mathrm\pi$

okej jag är med på det mesta där, den primitiva funktionen av sin blir ju -cos men hur får man fram $8\pi$ 

Idil M skrev :

okej jag är med på det mesta där, den primitiva funktionen av sin blir ju -cos men hur får man fram $8\pi$ 

 Radien r är 2 och integralen över $\varphi$ blir därför $\int_{0}^{2\pi}r^2d\varphi=2^2\int_{0}^{2\pi}d\varphi=4\cdot[\varphi]_{0}^{2\pi}=8\pi$

Okej då förstår jag hur arean i c uppgiften räknas fram, men i uppgift d blir det lite krångligare med $R^2$ och h.

Idil M skrev :

Okej då förstår jag hur arean i c uppgiften räknas fram, men i uppgift d blir det lite krångligare med $R^2$ och h.

 Nejdå, som jag förklarade ovan använder du samma beräkningsgång. Med $\theta$ från 0 till $\arccos(\frac{h}{R})$ får du integralen:

$\int_0^{2\mathrm\pi}\int_0^{arccos(\frac{h}{R})}R^2\sin(\theta)d\theta\;d\varphi=2\pi R^2\left[-\cos\left(\theta\right)\right]_0^{arccos(\frac{h}{R})}=2\pi R(R-h)$

ok så ${\int }_0^{2\pi }{R}^2=2\pi R^2$ och sen den primitiva funktionen till sin blir ju -cos, -cos(0)=-1 men det jag fortfarande har problem med är hur man ska räkna ut -cos($\theta$)arccos(h/R)

Men varför skulle du beräkna det? Det du vill göra är sätta in vinklarna arccos (h/R) respektive 0 i uttrycket -cos($\Phi$).

ja det var det jag menade, att sätta in 0 i uttrycket ger ju -cos(0) som blir -1 men det jag har problem med är när man sätter in arccos(h/R) i uttrycket -cos($\theta$)

h/R är ett tal mellan -1 och 1. Arc cos (x) är den vinkel vars cosinusvärde är x. Arc cos (h/R) är alltsåden vinkel vars cosinusvärde är r/H. cos arc cos (h/R) är cosinus för den vinkel vars cosinusvärde är h/R, d v s det är h/R.

Cosinus och arc cos är inverser till varandra.