12 svar
424 visningar
DragonBane 59
Postad: 23 jun 2020 17:31 Redigerad: 23 jun 2020 17:31

Sin x + Cos x = a. Bestäm..

Exponent 4 (2013), uppgift 1068

Sin x + Cos x = a

Bestäm..

a) sin²x + cos²x 

Där svaret är 1 och motiveringen är simpel, trigettan? Eller kan de ha kommit fram till svaret 1 på ett annat sätt? 

b) sin³x + cos³x

Där svaret är a(3-a²)2och jag förstår inte hur de kommer fram till detta, det står still i mitt huvud.

Tacksam för tips hur jag kan börja med denna uppgift.

Mvh

Laguna Online 29110
Postad: 23 jun 2020 17:47

Prova att dels kvadrera den första formeln, dels multiplicera den med den andra. 

DragonBane 59
Postad: 23 jun 2020 19:13
Laguna skrev:

Prova att dels kvadrera den första formeln, dels multiplicera den med den andra. 

Kan du utveckla hur du tänker?

Laguna Online 29110
Postad: 23 jun 2020 20:19
Schwed skrev:
Laguna skrev:

Prova att dels kvadrera den första formeln, dels multiplicera den med den andra. 

Kan du utveckla hur du tänker?

Visa hur det blir, så ska vi se hur man kommer vidare. 

tomast80 4222
Postad: 23 jun 2020 22:26

Rekommenderar tredje formeln här:

https://www.formelsamlingen.se/alla-amnen/matematik/algebra/tredjegradsbinom

Kan man få ett uttryck för sinxcosx\sin x\cos x är man ”hemma”.

DragonBane 59
Postad: 24 jun 2020 11:42
Laguna skrev: Visa hur det blir, så ska vi se hur man kommer vidare. 

Jag kvadrerar första formeln; 

(sinx + cosx)²=a²

Utvecklar;

sin²x+cos²x+2sinxcosx=a²

Förenklar;

2sinxcosx=a²-1

sinxcosx=(a²-1)/2

Multiplicerar med andra formeln; 

sinxcosx * (sin²x+cos²x) = ((a²-1)/2) * 1

Därefter försöker jag utveckla och förenkla vänsterled och allt blir huller om buller. 

Går jag i rätt spår? 

 

Jag hoppas du inte tappar hoppet om mig, skulle gärna vilja förstå mig på detta problem så jag uppskattar verkligen din hjälp. 

Mvh

DragonBane 59
Postad: 24 jun 2020 11:48
tomast80 skrev:

Rekommenderar tredje formeln här:

https://www.formelsamlingen.se/alla-amnen/matematik/algebra/tredjegradsbinom

Kan man få ett uttryck för sinxcosx\sin x\cos x är man ”hemma”.

Vad menar du med "Kan man få ett uttryck för sinxcosx  är man hemma"?

Mvh

Laguna Online 29110
Postad: 24 jun 2020 14:12 Redigerad: 24 jun 2020 14:14
Schwed skrev:
Laguna skrev: Visa hur det blir, så ska vi se hur man kommer vidare. 

Jag kvadrerar första formeln; 

(sinx + cosx)²=a²

Utvecklar;

sin²x+cos²x+2sinxcosx=a²

Förenklar;

2sinxcosx=a²-1

sinxcosx=(a²-1)/2

Multiplicerar med andra formeln; 

sinxcosx * (sin²x+cos²x) = ((a²-1)/2) * 1

Därefter försöker jag utveckla och förenkla vänsterled och allt blir huller om buller. 

Går jag i rätt spår? 

 

Jag hoppas du inte tappar hoppet om mig, skulle gärna vilja förstå mig på detta problem så jag uppskattar verkligen din hjälp. 

Mvh

Kvadreringen ser ut att ha gett ett användbart resultat. Sedan tänkte jag att du utvecklar  (sinx+cosx)(sin2x+cos2x)(\sin x+\cos x)(\sin^2x + \cos^2x) utan att bry dig om att den senare faktorn är lika med 1.

tomast80 4222
Postad: 24 jun 2020 20:43 Redigerad: 24 jun 2020 20:43
Schwed skrev:
tomast80 skrev:

Rekommenderar tredje formeln här:

https://www.formelsamlingen.se/alla-amnen/matematik/algebra/tredjegradsbinom

Kan man få ett uttryck för sinxcosx\sin x\cos x är man ”hemma”.

Vad menar du med "Kan man få ett uttryck för sinxcosx  är man hemma"?

Mvh

Vilka termer är kända i uttrycket:

sin3x+cos3x=\sin^3x+\cos^3x=

(sinx+cosx)(sin2x-sinxcosx+cos2x)(\sin x+\cos x)(\sin^2x-\sin x\cos x+\cos^2x) ?

DragonBane 59
Postad: 25 jun 2020 17:44
Laguna skrev: Kvadreringen ser ut att ha gett ett användbart resultat. Sedan tänkte jag att du utvecklar  (sinx+cosx)(sin2x+cos2x)(\sin x+\cos x)(\sin^2x + \cos^2x) utan att bry dig om att den senare faktorn är lika med 1.

Då tror jag att jag har löst uppgiften, såhär gjorde jag. 

 

(sinx+cosx)²=a²

Utvecklar vänsterled;

sin²x+2sinxcosx+cos²x=a²

(sin²x+cos²x)=a²-2sinxcosx

Förlänger båda leden med (sinx+cosx) och därefter utvecklar;

(sinx+cosx)×(sin²x+cos²x)=(sinx+cosx)×(a²-2sinxcosx)

sin³x+sinxcos²x+sin²xcosx+cos³x=a²sinx-2sin²xcosx+a²cosx-2sinxcos²x

sin³x+cos³x=a²sinx+a²cosx-3sin²xcosx-3sinxcos²x

Sedan vill jag gärna förenkla högerled och det gör jag med hjälp av trigettan;

sin³x+cos³x=a²(sinx+cosx)-3(1-cos²x)×cosx-3sinx×(1-sin²x)

sin³x+cos³x=a³-(3cosx-3cos³x)-(3sinx-3sin³x)sin³x+cos³x=a³-3cosx+3cos³x-3sinx+3sin³xa³-3cosx+2cos³x-3sinx+2sin³x=0a³+2cos³x+2sin³x=3cosx+3sinxa³+2sin³x+2cos³x=3(sinx+cosx)a³+2sin³x+2cos³x=3×a2(sin³x+cos³x)=3a-a³

och slutligen 

sin³x+cos³x=a(3-a²)2

Har jag kommit fram till svaret på ett godkänt sätt? Jag hoppas det är tydligt nog att följa med vad jag gör. 

Mvh

Tunnisen 143
Postad: 25 jun 2020 18:05 Redigerad: 25 jun 2020 18:06

När du gör sådana här uppgifter så behöver du utgå från VL och komma fram till HL. Nu har du börjat lite i mitten. I detta fall börja med:

VL = sin³x+cos³x = ... = a(3−a²)/2

VL = HL VSV

Och det kan du få till om du flyttar om lite i din lösning. Är du med?

tomast80 4222
Postad: 25 jun 2020 22:38

Alternativ lösning:

sinx+cosx=a\sin x+\cos x=a

(sinx+cosx)2=(\sin x+\cos x)^2=

sin2x+cos2x+2sinxcosx=a2\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x=a^2\Rightarrow

sinxcosx=a2-12\sin x\cos x=\frac{a^2-1}{2}

sin3x+cos3x=\sin^3x+\cos^3x=

(sinx+cosx)(sin2x-sinxcosx+cos2x)=(\sin x+\cos x)(\sin^2x-\sin x\cos x+\cos^2x)=

a·(1-a2-12)=a\cdot (1-\frac{a^2-1}{2})=

a(3-a2)2\frac{a(3-a^2)}{2}

DragonBane 59
Postad: 26 jun 2020 00:07
tomast80 skrev:

Alternativ lösning:

sinx+cosx=a\sin x+\cos x=a

(sinx+cosx)2=(\sin x+\cos x)^2=

sin2x+cos2x+2sinxcosx=a2\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x=a^2\Rightarrow

sinxcosx=a2-12\sin x\cos x=\frac{a^2-1}{2}

sin3x+cos3x=\sin^3x+\cos^3x=

(sinx+cosx)(sin2x-sinxcosx+cos2x)=(\sin x+\cos x)(\sin^2x-\sin x\cos x+\cos^2x)=

a·(1-a2-12)=a\cdot (1-\frac{a^2-1}{2})=

a(3-a2)2\frac{a(3-a^2)}{2}

Nu när jag ser din lösning så ser jag exakt vad du har försökt att poängtera ut för mig i tidigare svar, och när jag tidigare försökte lösa uppgiften så fastnade jag alltid på steg 4 där jag har sinxcosx i ena ledet och inte hade en susning vad jag skulle göra efter det.  Jag blev påminnd att jag bör ta en titt i formelsamlingen igen då det var väldigt länge sedan jag såg Tredjegradsbinomen. 

 

Tack för  hjälpen, mycket uppskattat! 

Svara Avbryt
Close