Sinus och Cosinus
Hej jag behöver hjälp med följande uppgift: Visa att
Jag vet inte riktigt hur jag ska börja, ska man bara rita upp en rätvinklig triangel och visa det eller ska man använda sig av enhetscirkel? vad är enklast och hur gör man då? Tacksam för svar :)
Rita enhetscirkel med vinklarna v och 90 -v.
Jag har ingen aning om hur jag ska rita 90-v, kan man göra det såhär?
Arminhashmati skrev:kan man göra det såhär?
Ja, vinkeln (90-v) motsvarar dock vinkeln mellan den positiva x-axeln och linjen-som-går-från-origo-till-B, inte vinkeln mellan linjen-som-går-från-origo-till-A och linjen-som-går-från-origo-till-B.
Vad är vinkeln mellan y-axeln(positiv) och linjen-som-går-från-origo-till-A?
Arminhashmati skrev:Jag har ingen aning om hur jag ska rita 90-v, kan man göra det såhär?
Du har ritat rätt, men du har markerat vinklarna fel. Vinkeln 90-v är den vinkeln mellan x- axeln och OB. O är origo.
Kan du sen markera sin v och cos (90-v) i bilden?
Jag fick det såhär, vet dock inte om det är rätt (jag har inte arbetat så mycket med enhetscirklar): 
Uträkningen av punkten A:s koordinater som (cos(v),sin(v)) är helt riktig.
Det jag inte förstår är hur du kommit fram till att B:s koordinater är exakt samma. De borde vara (cos(90-v),sin(90-v)).
Oj, 
mitt fel. Sådär, fixat. Nu, hur ska jag markera sin v och cos(90-v) i bilden? som Mohammad Abdalla frågade efter?
Jag vet inte exakt vad som Mohammad Abdalla planerade; i min värld var markeringen av B egentligen onödig, men så snart hen är online kan hen antagligen förklara hur hen tänkte.
Under tiden så ställde jag en fråga tidigare som förhoppningsvis skall leda till insikt:
Vad är vinkeln mellan y-axeln(positiv) och linjen-som-går-från-origo-till-A?
Också (90 - v)?
Precis. Om man betraktar den vinkeln som en del av en rätvinklig triangel får man ett alternativt sätt att räkna ut A:s koordinater på. Pröva att göra så.
Jag har lite svårt för att se vart den rätvinkliga triangel med vinkeln är, kan du markera den eller något?
Och förresten finns det inget enklare sätt att bevisa påståendet? Det känns som att det är väldigt mycket och väldigt komplicerat det här.
Det är möjligt att det finns lättare sätt att bevisa det på. Jag vet dock inte hur.
x och y koordinaterna bör då vara längden av den motstående och närliggande kateten till vinkeln. Då får jag dessa beräkningar men jag är osäker om det är rätt för då får jag bara att y = cos(90-v) och att x = sin(90-v)
y koordinaten: y = cos(90-v) / 1
x koordinaten: x = sin(90-v) / 1
Precis.
Du vet sedan tidigare om att A:s koordinater kan skrivas som (x,y) = (cos(v),sin(v)).
Du har nu också kommit fram till att A:s koordinater kan skrivas som (x,y) = (sin(90-v),cos(90-v))
Kombinerar man dessa två faktum får man alltså att
cos(v) = sin(90-v)
sin(v) = cos(90-v)
Det senare var det som du skulle visa.
Bedinsis skrev:Precis.
Du vet sedan tidigare om att A:s koordinater kan skrivas som (x,y) = (cos(v),sin(v)).
Du har nu också kommit fram till att A:s koordinater kan skrivas som (x,y) = (sin(90-v),cos(90-v))
Kombinerar man dessa två faktum får man alltså att
cos(v) = sin(90-v)
sin(v) = cos(90-v)
Det senare var det som du skulle visa.
Wow det var en lång förklaring men tack så mycket, nu förstår jag verkligen hur det funkar :)
Arminhashmati skrev:Och förresten finns det inget enklare sätt att bevisa påståendet? Det känns som att det är väldigt mycket och väldigt komplicerat det här.
Jag kom på ett enklare sätt, som inte ens kräver en enhetscirkel.
Tänk dig en rätvinklig rektangel där en av vinklarna är v.
Då den är rätvinklig kommer vinkeln mellan motstående katet och hypotenusan vara 180-90-v dvs 90-v.
sin(v) ges av motstående katet delat på hypotenusan.
cos(90-v) ges av närliggande katet till [90-v]-vinkeln delat på hypotenusan. Närliggande katet till [90-v]-vinkeln är samma sak som motstående katet till [v]-vinkeln.
Uträkningen av sin(v) och cos(90-v) kommer alltså vara identisk, vilket gör att det blir samma värden.
Om man vill expandera detta till vinklar större än 90 och mindre än 0 får man dock ta till enhetscirkeln.
Jag hoppas att jag inte gjorde dig frustrerad eller förvirrad i handledningen i detta och tidigare inlägg.
Det är lugnt, jag förstod lösningen med enhetscirkeln men tack för en mycket kortare lösning :)
Bedinsis skrev:Jag vet inte exakt vad som Mohammad Abdalla planerade; i min värld var markeringen av B egentligen onödig, men så snart hen är online kan hen antagligen förklara hur hen tänkte.
Under tiden så ställde jag en fråga tidigare som förhoppningsvis skall leda till insikt:
Vad är vinkeln mellan y-axeln(positiv) och linjen-som-går-från-origo-till-A?
Hej!
Jag menade att man ska göra så här:
