Skalärprodukt: Cauchy–Schwarz olikhet

Hej,

Jag behöver hjälp med föjlande uppgift.

Låt $||u|| > ||v||$ . Visa att $u$ och $u - v$ inte är ortogonala.

Jag har hittills kommit fram till att jag kan göra som följer

$\cos (θ) = \frac{< u, u - v >}{||u|| ||u - v||}$

Detta ger att $<u, u - v>$ måste vara skilt från noll för att $u$ och $u - v$ inte ska vara ortogonala. Hur kan jag, förutsatt att det faktiskt stämmer, visa detta? Enligt tips i boken ska jag använda mig av Cauchy–Schwarz olikhet för att visa detta men jag kommer ingenstans tyvärr. Tacksam för all hjälp eller vägledning jag kan få.

Hur formuleras Cauchy-Schwarz olikhet?

Hej Smaragdalena,

$|<u, v>| \leq ||u|| ||v||$ vilket i detta fallet blir $|<u, u - v>| \leq ||u|| ||u - v||$ . Vet ej hur jag ska gå vidare från detta.

Olikheten från uppgiften ska också användas.

Rätt start, kan du utveckla skalärprodukten på något sätt.

Testa att i stället börja skriva <u,u-v> = <u,u> - <u,v>.

Hej,

Om jag då fortsätter på ditt spår Freewheeling så får jag:

$<u, u - v> = <u, u> - <u, v> = {||u||}^{2} - <u, v> \geq {||u||}^{2} - <v, v> = {||u||}^{2} - {||v||}^{2} > 0 \Rightarrow <u, u - v> \neq 0$

vilket löser problemet. Men min fråga är då kan jag verkligen skriva om det som jag har gjort vid den första okikheten?

Eftersom $<u,v>\leq||u||\,||v||$ enligt Cauchy Scharwz måste $<u,v>$ vara strängt mindre än $||u||^2$ då $||u||>||v||$

Alltså är $||u||^2-<u,v>$ strängt större än 0.

Max123 skrev:
Hej,
Om jag då fortsätter på ditt spår Freewheeling så får jag:
$<u, u - v> = <u, u> - <u, v> = {||u||}^{2} - <u, v> \geq {||u||}^{2} - <v, v> = {||u||}^{2} - {||v||}^{2} > 0 \Rightarrow <u, u - v> \neq 0$
vilket löser problemet. Men min fråga är då kan jag verkligen skriva om det som jag har gjort vid den första okikheten?

Hej,

Du verkar påstå att skalärprodukten $(u,v) \leq (v,v)$ . Skulle detta följa från Cauchy-Schwarz olikhet?

Ditt resonemang fungerar om du antar att vektorn $u$ är normerad; då ger Cauchy-Schwarz olikhet det du önskar.

Svara

Visa senaste svar