Skära planet

Sätt in dem först så får vi se hur det blir.

Detta är en märkligt formulerad fråga.

Så vitt jag kan bedöma är linjen antingen parallell med planet, eller så ligger den helt i planet.

I inget av de två fallen skulle jag beskriva det som att linjen 'skär' planet. 

Linjen utgörs av punktmängden $\mathbf{p}_0+t\vec{v}$ där riktningsvektorn $\vec{v}$ är parallell med planet som jarenfoa påpekar. Det blir därför svårt att skära planet. 

Om man däremot lägger punkten $\mathbf{p}_0=(2,-1,a)$ i planet så ligger linjen helt i planet.

Jag förstår inte riktig, inget värde på a kan skära planet?

Är detta en korrekt början?

jag får a=-5/6 när jag sätter HL till 3

Ja, då ligger linjen i planet. För att visa hur det ser ut har jag plottat ett plan och fyra linjer

a=2, blå linje

a=1, grön linje

a=0, gul linje

a=-5/6 röd linje.

Förhoppningsvis ser man att linjerna är parallella med planet och att den röda linjen ligger helt i planet (det är iaf vad det ska föreställa)

jag förstår inte hur jag ska räkna ut detta

Det är inget som går att räkna ut eftersom linjen inte skär planet.

Men du kan däremot räkna ut för vilket värde på $a$ som linjen ligger helt i planet. Och det har du ju redan gjort.

Det innebär att varje punkt på linjen tillhör planet. Man säger att linjen ligger helt i planet.

När $a=-\frac56$ ligger varje punkt på linjen i planet. Det är fallet med den röda linjen ovan.

Väljer man ett annat värde på $a$ kommer man få en linje som är parallell med planet, men som aldrig nuddar planet. Linjen ligger då ovanför planet. Linjerna blå, grön och gul är exempel på sådana linjer.

Hur vet man att linjen inte skär i planet? Ser man det direkt?

Eller vet man det på något annat sätt?

Det ser man genom att sätta in de tre uttrycken för linjen i uttrycket för planet:
$$\begin{gathered} 2\left(2+\mathrm{t}\right)-4\left(-1+2\mathrm{t}\right)+6\left(\mathrm{a}+\mathrm{t}\right) = 3 \\ \iff 4+\cancel{2\mathrm{t}}+4-\cancel{8\mathrm{t}}+6\mathrm{a}+\cancel{6\mathrm{t}}-3 = 0 \\ \iff 5 + 6\mathrm{a} =\hspace{0.17em}0 \end{gathered}$$

Varje punkt på linjen motsvarar ett unikt värde på $t$.
Men eftersom ekvationen som avgör om en punkt även ligger i planet är oberoende av $t$
finns bara två möjligheter:

1. $a$ är sådant att $5+6a=0$, vilket innebär att alla punkter på linjen även ligger i planet
2. $a$ är sådant att $5+6a\ne 0$, vilket innebär att ingen punkt på linjen även ligger i planet

Är detta ett bra och tydligt svar på frågan då?

Du kan studera skalärprodukten mellan planets normal och riktningsvektorn för linjen.

En linje som ligger ovanför ett plan, parallellt med planet, ser ut så här från sidan:

När två vektorer är vinkelräta mot varandra blir skalärprodukten mellan dem 0. Om linjen och planet är parallella måste alltså skalärprodukten mellan linjens riktningsvektor $\mathbf{v}$ och planets normal $\mathbf{n}$ uppfylla

$\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0$

I din uppgift är linjens riktningsvektor $\mathbf{v}=(1,2,1)$ och normalen till planet är $\mathbf{n}=(2,-4,6)$. Räknar vi ut skalärprodukten får vi

$\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=(1,2,1)\cdot (2,-4,6)=1\cdot 2-4\cdot2+1\dot6=2-8+6=0$

Vi ser att linjens riktningsvektor är vinkelrät mot planets normal.  Planets riktningsvektor är parallell med planet. Det betyder att linjen antingen ligger utanför planet och aldrig skär det eller ligger helt i planet och då uppfyller varje punkt på linjen planets ekvation.

Så detta är ett bra och tydligt svar på frågan?

Både inlägg #14 och #16 är bra och tydliga svar.
Välj det du själv tycker var bäst och tydligast.

Jag tycker nog att du ska beräkna och ange för vilket värde på parametern $a$ som linjen ligger helt i planet.