Skärningspunkter mellan graferna till f(x)=sin x och g(x)=sin (x+C)+D

Marx skrev:

De punkter för vilka graferna till $f\left(x\right)= \sin x och g\left(x\right)= \sin (x+C)+D$ skär varandra beror av värdet på konstanterna C och D. Här låter vi $C\ge 0 och D\ge 0$.

Finn ett algebraiskt samband som visar vilka värden D kan ha beroende av värdet av C.

 

?????

Välkommen till Pluggakuten!

Börja med att rita grafen till f(x). I förhållande till denna graf är grafen till g(x) dels fasförskjuten (pga C), dels vertikalt förflyttad (pga D).

Klarnar det lite då?

Jag tycker det fattas nånting i frågan. D kan ha vilka värden som helst. Men om kurvorna ska skära varandra, då kan D inte ha vilka värden som helst, och vilka den kan ha beror på C.

Yngve skrev:

Marx skrev:

De punkter för vilka graferna till $f\left(x\right)= \sin x och g\left(x\right)= \sin (x+C)+D$ skär varandra beror av värdet på konstanterna C och D. Här låter vi $C\ge 0 och D\ge 0$.

Finn ett algebraiskt samband som visar vilka värden D kan ha beroende av värdet av C.

?????

Välkommen till Pluggakuten!

Börja med att rita grafen till f(x). I förhållande till denna graf är grafen till g(x) dels fasförskjuten (pga C), dels vertikalt förflyttad (pga D).

Klarnar det lite då?

Hur hjälper det här till en algebraisk lösning?

Se till att ditt svar hamnar utanför citat-markeringen, det blir så rörigt annars. /Smaragdalena, moderator

Marx skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

Marx skrev:

De punkter för vilka graferna till $f\left(x\right)= \sin x och g\left(x\right)= \sin (x+C)+D$ skär varandra beror av värdet på konstanterna C och D. Här låter vi $C\ge 0 och D\ge 0$.

Finn ett algebraiskt samband som visar vilka värden D kan ha beroende av värdet av C.

?????

Välkommen till Pluggakuten!

Börja med att rita grafen till f(x). I förhållande till denna graf är grafen till g(x) dels fasförskjuten (pga C), dels vertikalt förflyttad (pga D).

Klarnar det lite då?

Hur hjälper det här till en algebraisk lösning?

Se till att ditt svar hamnar utanför citat-markeringen, det blir så rörigt annars. /Smaragdalena, moderator

Det är alltid bra att rita.

Laguna skrev:

Jag tycker det fattas nånting i frågan. D kan ha vilka värden som helst. Men om kurvorna ska skära varandra, då kan D inte ha vilka värden som helst, och vilka den kan ha beror på C.

 Ja det är ju precis det som efterfrågas i uppgiften: "Finn ett algebraiskt samband som visar vilka värden D kan ha beroende av värdet av C."

Om t.ex. C = 0 så måste D = 0, annars skär kurvorna aldrig varandra.

Yngve skrev:

Laguna skrev:

Jag tycker det fattas nånting i frågan. D kan ha vilka värden som helst. Men om kurvorna ska skära varandra, då kan D inte ha vilka värden som helst, och vilka den kan ha beror på C.

 Ja det är ju precis det som efterfrågas i uppgiften: "Finn ett algebraiskt samband som visar vilka värden D kan ha beroende av värdet av C."

Om t.ex. C = 0 så måste D = 0, annars skär kurvorna aldrig varandra.

"Finn ett algebraiskt samband som visar vilka värden D kan ha beroende av värdet av C, när mängden av skärningspunkter inte är tom."

Laguna skrev:

"Finn ett algebraiskt samband som visar vilka värden D kan ha beroende av värdet av C, när mängden av skärningspunkter inte är tom."

OK då förstår jag vad du menar och håller med om att det saknas. Jag läste in det som en underförstådd förutsättning pga uppgiftens inledning.

Nu har jag kommit fram till ett hyfsat samband:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=g\left(x\right) \Rightarrow \sin x = \sin (x+C)+ D \\ \sin x - \sin (x+C) =D \\ \sin x -(\sin x . \cos C + \sin C . \cos x) =D efter förenkling \to \\ (1- \cos C) \sin x - (\sin C) \cos x = D med hjälp av sambandet A\sin (x+p) har vi \to \\ \sqrt{2-2\cos C} \sin (x+ {\tan }^{-1}(\frac{\sin C}{\cos C -1}\left)\right) = D \\ Eftersom värdet av \sin (x+ {\tan }^{-1}(\frac{\sin C}{\cos C -1}\left)\right) ligger mellan -1 och 1 då kommer att: \\ -\sqrt{2-2\cos C}\le \sqrt{2-2\cos C} \sin (x+ {\tan }^{-1}(\frac{\sin C}{\cos C -1}\left)\right)\le \sqrt{2-2\cos C} \\ Då måste: \\ 0\le D\le \sqrt{2-2\cos C} \\ För att graferna ska skära varandra. \end{gathered}$$

Vill gärna höra hur ni tänker om detta resonemanget?

Hej!

De två funktionerna skär varandra när

    $\sin(x+2a)-\sin x = 2b$

där jag skriver konstanten $C$ som $2a$ och konstanten $D$ som $2b$ av skäl som strax framgår. Det är därför intressant att studera differensen $\sin (x+2a)-\sin x$.

Med hjälp av trigonometriska additionsformler kan differensen skrivas

    $\sin(x+2a)-\sin x = 2\sin a\cos(x+a)$

så att du vill finna alla $x$ som löser ekvationen

    $2\sin a \cos(x+a) = 2b\iff \cos(x+a) = \frac{b}{\sin a}.$

För att denna ekvation ska vara meningsfull måste man tänka på vilka värden som vänsterledet $\cos(x+a)$ kan anta och vad detta implicerar om ekvationens högerled.