Skatta standardavvikelse

Anta att vi har de stokastiska variablerna 

$$\begin{gathered} X_i \in N({\mu }_1, {\sigma }_1) för i =\hspace{0.17em}1, 2, ... , n \\ {Y}_i \in N({\mu }_2, {\sigma }_2) för i =\hspace{0.17em}1, 2, ... , n \end{gathered}$$

Anta också att standardavvikelserna är okända. 

 

Vi bildar sedan de stokastiska variablerna:

$Z_i =\hspace{0.17em}{X}_i - Y_i \in N({\mu }_1 - {\mu }_2, d)$

 

Min fråga är nu, hur skattar vi d?

 

Det finns två sätt jag kan komma på.

 

Alternativ 1:

Skatta först ${\sigma }_1 och {\sigma }_2 med:$

 $$\begin{gathered} {s_1}^2 =\hspace{0.17em}\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(x_i-\overline{x})}^2 \\ {s_2}^2 =\hspace{0.17em}\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(y_i-\overline{y})}^2 \end{gathered}$$

för att sedan skatta d som:

$d\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\sqrt{{s_1}^2 + {s_2}^2}$

 

Alternativ 2:

skatta d enligt:

$d^2\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(z_i-\overline{z})}^2$

 

Vad är mest korrekt? De ger ju olika svar.