"Skattningen ger rätt parametervärde i genomsnitt om man utför oändligt antal försök"

Hej!

Jag har fastnat på facit kring denna uppgift (11.1 i Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar av Gunnar Blom m.fl.):

Vilka av nedanstående sex svar är riktiga:
1. Skattningen sammanfaller med stickprovsmedelvärdet.

2. Skattningen är ett viktat medelvärde av observationen

3. Skattningen ger rätt parametervärde i genomsnitt om man genomför ett stort antal försök.

4. Skattningen ger rätt parametervärde när man skattar en fördelnings medelvärde.

5. Skattningen ger alltid rätt parametervärde.

6. Väntevärdet av stickprovsvariabeln är lika med det rätta parametervärdet.

Svaret är att (3) och (6) är sanna. Jag undrar lite varför då. Jag resonerade som följande:

För en stickprovsvariabel $\theta^*$ kan vi välja vilken funktion som helst. Vi vill ju att det ska vara en funktion som ger en någorlunda bra skattning av $\theta$ , men det behöver inte rimligtvis vara det (så tolkar jag vad en skattning är). Att en skattning ger rätt parametervärde vid ett stort antal försök betyder att skattningen är väntesvärdesriktig - dess stickprovsvariabel har $E(\theta^*)=\theta$ . Men eftersom alla skattningar inte är väntevärdesriktiga, så är (3) och (6) bara sanna om skattningarna är väntevärdesriktiga.

Lösningsförslaget säger:

Min kunskap om skattningar är två dagar gammal och därför har jag antagligen missförstått begreppen lite. Upplys mig!

Är det inte givet i uppgiften att skattningen är väntevärdesriktig? Annars är facit fel.

Jag tror det skulle hjälpa om du visar exakt vad uppgiften var!

oggih skrev:
Jag tror det skulle hjälpa om du visar exakt vad uppgiften var!

Idén när man gör statistiska skattningar är att man har ett "stickprov" som formellt är ett antal oberoende stokastiska variabler $X_1,X_2,\ldots,X_N$ med en föredelning som beror på en parameter $\theta$ . En skattning av $\theta$ är då en ny stokastisk variabel $\theta^*(X_1,\ldots,X_N)$ som man bygger utifrån $X_1,\ldots,X_N$ med målet att den med "hög sannolikhet" ska ge ett utfall som är "nära" $\theta$ .

Till exempel kan man välja stickprovsmedelvärdet $\theta^*(X_1,\ldots,X_N)=\frac{1}{N}(X_1+\cdots+X_n)$ eller välja det största värdet $\theta^*(X_1,\ldots,X_N)=\max(X_1,\ldots,X_N)$ .

Den här uppgiften går ut på att du ska reda ut vad som gäller (och inte gäller) om $\theta^*(X_1,\ldots,X_N)$ har egenskapen att vara väntevärdesriktig.

Egenskap (6) är själva definitionen av väntevärdesriktighet, så det är uppenbarligen ett korrekt svar.

Egenskap (3) är en konsekvens av definitionen av väntevärdesriktighet kombinerat med lagen stora talens lag.

Så det du sa i ursprungsinlägget gäller: du kan i princip konstruera en skattning hur du vill. I denna uppgift var det dock givet att skattningen var väntevärdesriktig. Och därför gäller 3 och 6.

Svara

Visa senaste svar