Bestämning av asymptoter

hur gör man med nämnaren?

Kan v' bli 0?

Oavsett vilket tal man sätter in i nämnaren så blir det inte 0.

Så funktionsvärdet på f(x) kan aldrig bli noll

Vad händer om täljaren blir noll?

0 dividerad med ett tal blir noll.

Då blir funktionsvärdet noll.

Hur kan man gå Vidare med uppgiften?

Hitta x-värden där derivatan är 0. Undersök, tex med teckentabell, om det är max, min eller terrass.

Jag verkar inte få till det med funktionen när jag deriverar

Jodå, derivatan är nog korrekt, tycker jag. Sätt den till 0 och se vad du får. 

När det gäller asymptoterna kan det hjälpa att skriva om det till en summa av 3 bråk, dvs inte ha gemensam nämnare. Sen fundera över vad som händer med de 3 termerna långt t.v. och långt t.h.

Jag kan inte riktigt se om hur jag ska få ut x , när jag sätter derivatan till 0

såhär?

Precis, eller hellre pq-formeln nu när du har skrivit ekvationen på rätt form för den. 

Använd PQ-formeln för att få fram rötterna till din andragradsekv.

I ditt första inlägg skriver du Definitionsområde X=4. Ska vara ” x skilt från 4”.

hur blir det nu?

Inga reella lösningar. Då finns det inte några stationära punkter. Så inga max eller min.

Så det finns bara imaginära lösningar?

inga reella lösningar.

behöver jag göra denna beräkning för att se att det inte finns någon extrem punkt ?

och på b) så är är det bara en lodrätt asymptot x=4?

dvs  funktionen y(x) går mot positiva oändligheten  när x-värdet närmar sig 2?

Precis, inga reella nollställen för derivatan betyder att det inte finns några extrempunkter (som laguna hintade om i #3).

En asymptot vid x=4 stämmer också. Det som återstår är att kolla vad som händer "vid oändligheterna" som jag hintade om i #10.

jag kan inte se hur man kan gå vidare.

Du ser att sista termen går mot 0 när x går mot oändligheten. Kan du se vad som händer med mittentermen? Och med första termen?

Det finns ett antal sätt att hitta den sneda asymptoten.

Ett sätt är att använda polynomdivision för att skriva om funktionen på formen kx + m + c/(x-4).

Det finns också en standardmetod enligt nedan.

Ja, Just det. Nu ser jag det

den sista termen då blir det 

7/-4 och då blir det en horisontell asymptot 

y=m

m

är ett konstant, som skär i y axeln 

men det blir ett negativt m värdet.

så då sker det i y axeln  under området av x-axeln 

?

Vilken metod använder du?

Finns det några metoder för att hitta asymptoter i er bok? Kan du lista dem?

Du kanske försöker göra det jag skrev. Det jag menar med sista termen är att om du sätter x="jättestort tal" så får du 7/"jättestort tal" vilket går mot 0 när x växer. 

För mittentermen utnyttjar du att $x\approx x - 4$ när x är stort. Då kan "förkorta" x med x-4 och du får en 3:a kvar. Du kommer att se att det är ditt m i kx+m när du fortsätter med första termen. 

Patenteramera föreslår mer matematiska metoder. 

Jag har sett en sådan exempel uppgift, där de gjorde såhär.

hur ska man veta när man ska förkorta i både nämnaren och täljaren, efter att man har skrivit funktionen till summan av tre termer?

Det var ju inte mycket. Står det inget mer?

Problemet med asymptoter är att det är enkelt att hoppa i galen tunna om man inte använder någon välbeprövad metod som man vet fungerar med säkerhet.

Tex så kan man tycka att Peters argumentation verkar övertygande - men tyvärr så leder den till fel svar.

Ett sätt är att sätta t = x - 4 (x = t + 4) och förenkla tills man får typ at + b +c/t. Sedan säter man in t = x - 4 igen och förenklar.

Enligt facit ska b) 

ha lodrät asymptot x=4

och

Sned asymptot y=-x-1

de nämner bestämning av asymptoter med polynomdivision. Hur?

hur ska man tolka detta?

Är det så att funktionens värde y är lika med -x-1

dvs en rät sned asymptot enligt y=k+m

Hur tolkas resten? Om det finns rest så är inte x-4 en faktor?

i detta fall är k=-1 och m=1

När är polynom division tillåtet?

Polynomdivisionen visar att $\frac{-x^2+3x+7}{x-4}=-x-1+\frac{3}{x-4}$.

De två första termerna är på formen kx+m (k = m = -1). Den sista termen går mot 0 då x går mot $\infty$ (eller $-\infty$). 

Det betyder att linjen y = -x - 1 är en asymptot då x går mot $\pm \infty$.

Ajdå, ledsen att jag rörde till det. Gränsvärden är lurigare än jag minns. Vilken tur att patenteramera kunde räta upp skeppet (som var rakt på väg mot ett grund)!