Skissa grafer

För små x är x^3 liten och kan försummas, och 

y=5x-1 är en bra approximation nära x=0;

När x är stort dominerar -x^3 (och 5x-1 är obetydlig) varför utseendet påminner om y=-x^3 för stora x

Jag hänger bara med på det första resonemanget - att när 5x-1 (för små x) är den som dominerar, ser man att k = 5 och därför stiger man upp med 5 steg för att ha rätt lutning på grafen. Men hur tänker man utan hjälpmedel gällande -x³?

En till fråga... hur vet jag att jag nu ska anta att x är stora eller små, för att sen gå vidare med det? Med andra ord, i vilka situationer bör jag tänka att x är stora, och när bör man anta att de är små?

Ett helt annat angreppssätt som inte kräver bedömning av "stora"/"små" x är att använda derivata för att skissa grafen.

Läs gärna mer om den metoden här och fråga sedan oss om allt du vill att vi förklarar närmare.

Jajamän! Metoden kan jag redan. Detta var min lösning från början. Genom att titta på teckenväxlingen i tabellen jag ritat, lyckades jag skissa rätt graf i huvudet (utan graderingar). Däremot fick jag helt fel när jag utgick ifrån facit och koordinaterna jag fått i teckentabellen.

Detta med små och stora x är en del av det vi jobbar med just nu, behöver därför veta på vilket sätt de kan hjälpa mig skissa en graf. 

Dina uträkningar, dina punkter och din teckentabell är helt rätt.

Men din graf stämmer inte. Det ser ut som om du har markerat 6 punkter i grafen, men det är oklart varifrån du har fått dessa punkter. Dessutom stämmer inte lutningen på din graf med vad du har skrivit i teckentabellen.

Gör så här:

Börja med att rita ett koordinatsystem med samma skala på både x- och y-axel. Låt gärna 1 längdenhet motsvara 2 rutor så blir det enklare att markera punkterna.

Markera sedan de 5 punkter du har beräknat.

Du vet att derivatan är

• negativ för alla x < -1,3
• noll för x $\approx$ -1,3
• positiv för -1,3 < x < 1,3
• noll för x $\approx$ 1,3
• negativ för alla x > 1,3

Rita nu en mjukt börjd graf som börjar uppifrån vänster i kvadrant 2, går genom de 5 punkterna och fortsätter ner åt höger i kvadrant 4.

Visa ditt resultat 

Dr.scofield skrev:

[...]

Detta med små och stora x är en del av det vi jobbar med just nu, behöver därför veta på vilket sätt de kan hjälpa mig skissa en graf. 

[...]

För alla polynom, oavsett vilka koefficienterna är, gäller att

• ju närmare origo man kommer, desto mer dominerar termerna med små exponenter.
• ju längre bort från origo man kommer, desto mer dominerar termerna med stora exponenter.

Är du med på detta?

Läs dä svar #2 igen, det som Trinity2 skrev.

Fråga vidare om allt som fortfarande är oklart.

Jag hänger med på allt nu! Tack ska ni ha båda två! :) 

Om jag får ställa en fråga till gällande detta så undrar jag hur facit kom fram till att grafen till y = x³-2x²-x+1 ser ut som i bilden nedan, enbart genom att veta att funktionen för stora x är = x³ och för små x är = -x+1. Jag vet att funktionen ska ha lutningen -1 utifrån "-x+1" och att den ska skära i (0 , 1), men sen tappar jag tråden i och med att jag inte får beräkna nollställena till derivatan och sedan skapa teckentabell.

När de skriver "utan hjälpmedel" så menar de "utan digitala hjälmedel".

Derivata & teckentabell räknas inte som digitala hjälpmedel.

Jajamän. Sättet som facit gör det på sparar däremot mycket mer tid och är lättare, är därför intresserad av att förstå vad de gör och lära mig det. Tror att det bara är något litet och dumt som jag inte ser i detta, tacksam för lite hjälp! 

Vad står det I facit?

Frågan:

Facit: 

OK, det här är samma metod som de använde till den första uppgiften och som Trinity2 beskrev I svar #2.

Jag hänger med på det som skrevs i #2, men för mig låter det som att Trinity2 sa något (som jag förstod) och sedan drog en slutsats utifrån det om hur grafen ska se ut. Det är dock oklart för mig hur detta leder till just den slutsatsen. Hoppas detta förtydligar min fråga. 

• Nära origo (dvs för små |x|) så dominerar termer med små exponenter. Termer med stora exponenter kan då försummas. Funktionen kan då approximeras med y $\approx$ 0-0-x+1 = -x+1
• Långt bort ifrån origo (dvs för stora |x|) så dominerar termer med stora exponenter. Termer med små exponenter kan då försummas. Funktionen kan då approximeras med y $\approx$ x³

Är du med på det?

Yes! Vad gör jag sen med den infon?

Du ritar ungefärligt grafen till y = -x+1 och grafen till y = x³ i samma koordinatsystem.

Visa hur det ser ut då.

Jag inser nu! Rätta mig gärna om jag har fel. Är det inte så att grafen till y = −x+1 (för små x) ritas nära origo, medan en tredjegradsfunktion ska ritas längre ut i koordinatsystemet (för stora x)? Sedan behöver vi koppla samman dem på det enda sätt som är möjligt. Men detta gäller enbart om vi inte tar hänsyn till eventuella graderingar. För att vara mer exakt bör vi derivera och skapa en teckentabell. Stämmer det?

Ja, det stämmer.

Du ska bara skissa en ungefärlig graf, dvs det principiella utseendet.

Tanken med uppgiften är att du ska träna på det eftersom förmågan att snabbt kunna skissa ungefärliga grafer är mycket användbar.

Då så! Nu har jag fått med mig grunden. Tack för hjälpen!