Skissa kurvan

 

Själv har jag gjort så här:

Först tar jag derivatan av funktionen

$y=x^3-3x$

$y\text{'}=3x^2-3$

Sen låter jag y'=0 för att undersöka extrempunkter

$$\begin{gathered} 0=3x^2-3 \\ 3=3x^2 \\ x=\pm 1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x_1=1 \\ {x}_2=-1 \end{gathered}$$

Detta betyder att vid x-värden 1 och -1 är derivatan lika med 0.

 

Sen förstår jag det som att jag kan göra en av två metoder: 

Metod 1 är att undersöka derivatans lutning vid punkter till vänster och höger av extrempunkterna 1 och -1. Alltså:

$$\begin{gathered} y\text{'}\left(2\right)=3{\left(2\right)}^2-3 \\ y\text{'}\left(2\right)=9 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} y\text{'}\left(0\right)=3{\left(0\right)}^2-3 \\ y\text{'}\left(0\right)=-3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} y\text{'}(-2)=3{(-2)}^2-3 \\ y\text{'}(-2)=9 \end{gathered}$$

x=1 har negativ lutning till vänster och positiv till höger, så är en minimipunkt.

x=-1 har positiv till vänster och negativ till höger, så är en maximipunkt.

 

Metod 2 är att istället bara ta andraderivatan för x=1 och x=-1 för att se vilka sorts extrempunkter de är. 

$$\begin{gathered} y\text{'}\text{'}=6x \\ y\text{'}\text{'}(-1)=6(-1)=-6 \\ y\text{'}\text{'}\left(1\right)=6\left(1\right)=6 \end{gathered}$$

x=1 ger en positiv värde och är därför en minimipunkt.

x=-1 ger en negativ värde och är därför en maximipunkt. 

 

Jag har några frågor. 

• Hur går jag vidare från här? Är det bara att göra en värde tabell eller finns det ett bättre sätt?
• Vilket av de två metoderna borde man använda? Är det så att man använder metod 2 (andraderivatan) om man kan (som i $y=x^3-3$) och att man använder metod 1 när man inte kan använda andra derivatan (som i t.ex. $y=x^2$)?
• Och hur fick de y-koordinaten (-1,2) och (1,2) i lösningen som jag visade där uppe? Har de bara glömt att visa hur de gjorde eller är det så lätt att det inte behövs visa?