Skissa paramatisering

Är du med på att x och z inte kan bli större än 1?

Har du funderat mera?

Ibland kan det hjälpa att rita 2D-snitt.

Hur ser funktionen ut i (x,y)-planet? (x,z)? (y,z)?

Axiom skrev:

Här är min första tanke att x och z bara är direkta cylindriska koordinater. Men borde inte "cylinderns" cirkel växa med t så att y-värdet ökar och bara blir större. Det jag då ser framför mig är en spiral som blir bredare och bredare.

Hastighet: $-\sin t,0,\cos t$

fart: $\sqrt{-{\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t}=1$

Acceleration: $-\cos t,0,-\sin t$

Visa spoiler

MEN det ska vara en helix inom cylindern med radie 1. 

 

Jag har också svårt för hur jag ska tänka när jag ska rita upp något liknande i rummet, jag testar endast olika värden för t men använder inte de andra framtagna värdena.

 

Hur tänker ni? Hur ritar ni upp det? Varför blir det inte en spiral?

Den här uppgiften är "tillrättalagd" på så sätt att i xz-planet är det en vanlig cirkelrörelse

(x,z)=( cos(t), sin(t) ).

Om man alltså tittar längs y-axeln ser man cirklar.

Rotationen i xz-led är positiv, vilket vi känner igen från det vanliga uttrycket ( cos(t), sin(t) )

Det återstår att studera var längs y-axeln en punkt befinner sig vid tidpunkten t.

Vi har y = t, vilket är en konstant rörelse (hastighet = +1), från negativt till positivt, längs y-axeln.

"Cirklarna" kommer därmed att bli en spiral;

Du frågade varför spiralen inte blir bredare och bredare. Det beror på att radien (i xz-planet) är r(t)^2=cos^2(t)+sin^2(t) = 1, d.v.s. konstant (en "enhetscirkel"). Vill vi att denna radie skall fändras på något sätt, säg växa, får vi införa en mera komplex funktion av t för x- och z-koordinaterna, säg

(x,y,z) = ( t cos(t), t, t sin(t) ), t icke-negativt (det blir enklare just nu, annars växlar den riktning i origo)

Då får vi en linjärt ökande radie (gör om ovanstående radieberäkning, vad får du då för r(t)?)

och betraktar vi denna ser vi att "radien" ökar enligt välkänt mönster vid en viss betraktelsevinkel

Förlåt att jag inte svarat. Tack så mycket för all hjälp, förstår fortfarande inte helt men måste suga lite mer på karamellen.