7 svar
377 visningar
Albiki 3924
Postad: 5 maj 2018

Skolornas Matematiktävling: Algebra

Låt $$P$$ vara ett polynom sådant att $$P(x^2+1)=6x^4-x^2+5.$$ Bestäm polynomet $$P(x^2-1).$$
Dr. G 4396
Postad: 5 maj 2018

P(x^2 - 1) = 6x^4 - 25x^2 + 31

AlvinB Online 3030
Postad: 5 maj 2018 Redigerad: 5 maj 2018

Eftersom den största termen i P(x2+1)P(x^{2}+1) är av grad fyra borde P(x)P(x) vara en andragradsfunktion, d.v.s. P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^{2}+bx+c.

Om man sätter in x2+1x^{2}+1 kan man ju likaställa med uttrycket vi vet för P(x2+1)P(x^{2}+1):

ax2+12+b(x2+1)+c=6x4-x2+5

ax4+(2a+b)x2+a+b+c=6x4-x2+5

Sedan kan man göra ett ekvationssystem av koefficienterna:

a=62a+b=-1a+b+c=5

Löser man det får man:

a=6b=-13c=12

Alltså är P(x)=6x2-13x+12.

Sedan är det bara att sätta in x2-1:

P(x2-1)=6(x2-1)-13(x2-1)+12=6x4-25x2+31

SeriousCephalopod Online 1775
Postad: 6 maj 2018 Redigerad: 6 maj 2018

 

P(x2+1)=6x4-x2+5=6(x2)2-x2+5P(x^2 + 1) = 6 x^4-x^2+5 = 6 (x^2)^2-x^2+5

P(x2-1)=P([x2+1]-2)=6(x2-2)2-(x2-2)+5P(x^2 - 1) = P([x^2 + 1] - 2) = 6(x^2 - 2)^2-(x^2-2)+5 

P(x2-1)=6x4-25x2+31P(x^2 - 1) = 6x^4 - 25x^2 + 31

Albiki 3924
Postad: 6 maj 2018
Dr. G skrev:

P(x^2 - 1) = 6x^4 - 25x^2 + 31

 Hur kom du fram till det svaret?

Albiki 3924
Postad: 6 maj 2018
SeriousCephalopod skrev:

 

P(x2+1)=6x4-x2+5=6(x2)2-x2+5P(x^2 + 1) = 6 x^4-x^2+5 = 6 (x^2)^2-x^2+5

P(x2-1)=P([x2+1]-2)=6(x2-2)2-(x2-2)+5P(x^2 - 1) = P([x^2 + 1] - 2) = 6(x^2 - 2)^2-(x^2-2)+5 

P(x2-1)=6x4-25x2+31P(x^2 - 1) = 6x^4 - 25x^2 + 31

 Din idé är att polynomet PP kan skrivas

    P(y)=6(y-1)2-(y-1)+5\displaystyle P(y)=6(y-1)^2-(y-1)+5,

så att man direkt kan skriva upp P(x2-1).P(x^2-1).

Dr. G 4396
Postad: 7 maj 2018
Albiki skrev:
Dr. G skrev:

P(x^2 - 1) = 6x^4 - 25x^2 + 31

 Hur kom du fram till det svaret?

 Min lösning var väsentligen som AlvinBs.

Albiki 3924
Postad: 7 maj 2018
AlvinB skrev:

Eftersom den största termen i P(x2+1)P(x^{2}+1) är av grad fyra borde P(x)P(x) vara en andragradsfunktion, d.v.s. P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^{2}+bx+c.

Om man sätter in x2+1x^{2}+1 kan man ju likaställa med uttrycket vi vet för P(x2+1)P(x^{2}+1):

ax2+12+b(x2+1)+c=6x4-x2+5

ax4+(2a+b)x2+a+b+c=6x4-x2+5

Sedan kan man göra ett ekvationssystem av koefficienterna:

a=62a+b=-1a+b+c=5

Löser man det får man:

a=6b=-13c=12

Alltså är P(x)=6x2-13x+12.

Sedan är det bara att sätta in x2-1:

P(x2-1)=6(x2-1)-13(x2-1)+12=6x4-25x2+31

 Du använder att gradtalet för det sammansatta polynomet kan skrivas

    grad(P(x2+1))=grad(P)·grad(x2+1)grad(P(x^2+1))=grad(P)\cdot grad(x^2+1)

vilket ger att PP måste vara ett andragradspolynom. Ett andragradspolynom bestäms av tre talpar, vilka ger tre ekvationer för att bestämma polynomets koefficienter.

Svara Avbryt
Close