Skriv polynomet x^6 - 8 som en produkt av reella första- och andragradspolynom

x^4 + 2x^2 + 4

Lös polynomets nollställen med pq, bllir lättare om du först substituerar x²  = t och löser

t² + 2t +4 = 0

Man kan göra så här: markera alla rötterna i komplexa talplanet. De ligger på en cirkel. Bilda sedan produkterna (x-a)(x-b) för varje rot a med positiv imaginärdel och dess konjugat b (som också är en rot). 

Tack för er hjälp! Jag väljer Tures angreppssätt. När jag löser andragradsekvationerna så gör jag om till "e"-form och sen polär form. Men jag hoppar över lite steg här.

x^4 + 2x^2 + 4 = 0

t^2 + 2t + 4 = 0

t = -1 - i sqrt(3)
t = -1 + i sqrt(3)

x^2 = -1 - i sqrt(3)
x^2 = -1 + i sqrt(3)

x = sqrt(2) * (-1/2 + sqrt(3)/2*i)
x = -sqrt(2) * (-1/2 + sqrt(3)/2*i)
x = sqrt(2) * (1/2 + sqrt(3)/2*i)
x = -sqrt(2) * (1/2 + sqrt(3)/2*i)

Vad bör jag göra nu egentligen? x minus nollstället ska ju vara en delare men det känns svårt att göra polynomdivision med komplexa tal så det kanske inte är rätt angreppssätt.

Det ser korrekt ut att $x^6-8=(x^2-2)(x^4+2x^2+4).$
Det går ju såklart att finna rötterna till polynomet $x^4+2x^2+4$ och sedan använda faktorsatsen för att skriva det som en produkt av två andragradspolynom, men rötterna ser rätt besvärliga ut. Jag skulle göra som följande:

$x^4+2x^2+4=x^4+4x^2-2x^2+4=x^4+4x^2+4-2x^2.$

Observera att jag adderade och subtraherade $2x^2$. Detta gjorde jag eftersom det då följer att (med kvadratkomplettering)

$x^4+4x^2+4-2x^2={(x2+2)}^2-{\left(\sqrt{2}x\right)}^2$

och med konjugatregeln fås

${(x2+2)}^2-{\left(\sqrt{2}x\right)}^2=(x^2+\sqrt{2}x+2)(x^2-\sqrt{2}x+2)$

Eftersom $x^2-2=(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$, (också enligt konjugatregeln) får vi faktoriseringen 

$x^6-8=(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x^2+\sqrt{2}x+2)(x^2-\sqrt{2}x+2)$.

Notera att faktorerna består av reella första och andragradspolynom.