Skriva Andragradsekvationer

Jag vet inte bakgrunden till den första funktionen, men funktionsuttrycket är inte faktoriserat, så det är inte av samma karaktär som golfbollens bana (och har därför inte heller samma form).

[Med k=2 blir funktionen  y = 8 – 2(x – 1)²  med maxvärdet 6 för x = 1 ]

Om bollbanan vet vi att den är en parabel med spetsen uppåt.

Grafen börjar i origo, går uppåt till maxvärdet 12 och sedan tillbaka nedåt.
Om max inträffar för x=40 måste den på återvägen skära x-axeln för x=80,
eftersom grafen är symmetrisk kring linjen  x=40   (symmetrilinjen)
som alltid ligger mitt emellan de båda nollställena.

Därför måste funktionsuttrycket kunna skrivas på formen   
           y = k(x - 0)(x - 80)  där  k < 0 .
Här blir  y = 0  för  x = 0  och  x = 80, så symmetrilinjen blir  x = (0+80)/2 = 40,
och maxvärdet  y = 12  antas för  x = 40.

Nu kan vi beräkna  k , som måste vara negativt
för att parabeln ska få spetsen uppåt.
Gör det!   Och rita kurvan.

Tillägg: 15 dec 2022 13:10

Skrev fel. Ska stå
[Med k=2 blir funktionen  y = 8 – 2(x – 1)2  med maxvärdet 8 för x = 1 ]
Tack för rättelsen, Mogens!

Arktos skrev:

[Med k=2 blir funktionen  y = 8 – 2(x – 1)²  med maxvärdet 6 för x = 1 ]

 

 

Nej, maxvärdet är 8 för x = 1.

Men vi behöver inte bry oss om maxvärdet i ekv 1.

Vet vi att y(0) = 6 så kan vi bestämma k och saken är biff.

I ekv 1 är ekvationen given med en obekant konstant som vi kan bestämma genom att sätta in en känd punkt. I och för sig vet vi också att y(1) = 8, men eftersom termen med k försvinner där, får vi ingen ledning rörande k.

I ekv 2 använder vi kunskapen att en golfboll beskriver en parabel (hmm, på månen i alla fall, jag vet inte hur stor inverkan luftmotståndet har) för att ställa upp ekvationen. Bollen går uppåt till högsta punkten och fortsätter sedan lika långt tills den landar. Vi har alltså y(0) = y(80) = 0. En parabel har högst två nollställen så funktionen kan skrivas y = k(x–0)(x–80). Detta säger inget om hur hög parabeln är – i teorin kan det vara en lyra som går upp hundra meter innan den dalar. Nu kan vi använda att y(40) = 12, dvs 12 = k*40(40–80) vilket ger k. 

Henrik skrev:

Min fråga är varför jag inte kan använda den första metoden när jag skriver den 2:a Ekvationen? 

Utöver det som tidigare sagts kan jag komplettera med lite teori.

En generell andragradsfunktion f(x) kan beskrivas på lite olika sätt:

Standardform f(x) = ax²+bx+c, där a, b och c är konstanter som kan bestämmas om vi t.ex. känner till tre punkter på grafen till y = f(x).

Faktoriserad form f(x) = k(x-x₁)(x-x₂), där x₁ och x₂ är nollställena och k₁ är en konstant som kan bestämmas om vi t.ex. känner till ytterligare en punkt på grafen till y = f(x).

Kvadratkompletterad form f(x) = y_v+k₂(x-x_v)² , där extrempunkten är (x_v, y_v) och k₂ är en konstant som kan bestämmas om vi t.ex. känner till ytterligare en punkt på grafen till y = f(x).

Övertyga dig om att alla tre former egentligen säger samma sak genom att multiplicera ihop/ut faktorerna i de två sistnämnda och se att du i alla tre fallen får ett utryck som består av dels en x²-term, dels en x-term och dels en konstantterm.

Du kan använda vilken som helst av dessa former för att bestämma en andragradsfunktion, men de passar olika bra i olika sammanhang:

• Om du känner till nollställena och ytterligare en punkt så passar faktoriserad form bra.
• Om du känner till koordinaterna för extrempunkten och ytterligare en punkt så passar kvadratkompletterad form bra.
• Om du endast känner till tre godtyckliga punkter så passar standardformat bra.

Läs gärna mer om andragradsfunktioner, extrempunkter, symmetrilinje med mera här.

Tack för era uttömmande svar, dom var verkligen informativa!