Skriva bevis

Du får absolut använda pythagoras och det är nog det enklaste sättet att visa att 3:4:5 ger en rätvinklig triangel. Det går fint med cosinussatsen också, men den är bara en variant på pythagoras. Då kommer du att få att cos(vinkeln)=0. 

Pythagoras blir ett direkt bevis. Du antar att vinkeln är 90 grader och visar att det stämmer. Motsatsen kallas motsägelsebevis. Där antar man att något inte är sant, visar att det leder till något som måste vara osant (som 1=0), vilket visar att det var sant från början. Vi har också induktionsbevis, som tar mer än ett par meningar att förklara tydligt. 

Du behöver inte "uppfinna hjulet" varje gång. Du får använda etablerade lagar och satser, så länge de är relevanta för problemet. 

Axiom (grundläggande antaganden) är också OK, till exempel att den kortaste vägen mellan två punkter är en rät linje.

Vad får man då inte göra?

Mätningar: Du kan inte rita en triangel, mäta med gradskiva och säga "titta, den är 90 grader". Det är ett experiment, inte ett matematiskt bevis.

Specifika exempel: Att visa att det stämmer för sidorna 3, 4 och 5 räcker inte om frågan gäller alla trianglar. I det här fallet kan du stoppa in 3x, 4x och 5x i pythagoras. 

Cirkelresonemang: Du får inte använda det du ska bevisa som ett argument i själva beviset.

Hoppas det hjälper lite. 

Ja, tack för ditt svar :) 

En sak jag fått för mig är att man inte kan jobba i båda led samtidigt när man ska komma med ett bevis. Uppgiften jag gav som exempel löste jag tex genom att applicera värdena 3x, 4x och 5x i pythagoras sats, förenklade vänsterledet tills jag kom fram till att det var lika med det högra ledet (25x^2) och så var beviset färdigt. 

Men jag har hört något om att man kan använda ekvivalenser för att skriva vissa bevis. Kan dock inte komme ihåg vilket typ av bevis det hade kunnat vara, kan försöka hitta det. Men min fråga är, om man kan använda ekvivalenspilar på ett specifikt sätt i bevis, hur ska man liksom använda dem på rätt sätt? Jag förstår ju innerbörden av ekvivalenser osv, men är osäker på hur man ska anävnda dem alltså. 

Minns att det var något om att ifall man använde sig av ekvivalenser i bevis var man tvungen att motivera den och visa att den verkligen gäller. 

KlmJan skrev:

Ja, tack för ditt svar :) 

En sak jag fått för mig är att man inte kan jobba i båda led samtidigt när man ska komma med ett bevis. Uppgiften jag gav som exempel löste jag tex genom att applicera värdena 3x, 4x och 5x i pythagoras sats, förenklade vänsterledet tills jag kom fram till att det var lika med det högra ledet (25x^2) och så var beviset färdigt. 

Men jag har hört något om att man kan använda ekvivalenser för att skriva vissa bevis. Kan dock inte komme ihåg vilket typ av bevis det hade kunnat vara, kan försöka hitta det. Men min fråga är, om man kan använda ekvivalenspilar på ett specifikt sätt i bevis, hur ska man liksom använda dem på rätt sätt? Jag förstår ju innerbörden av ekvivalenser osv, men är osäker på hur man ska anävnda dem alltså. 

Minns att det var något om att ifall man använde sig av ekvivalenser i bevis var man tvungen att motivera den och visa att den verkligen gäller. 

Jag tror du menar om-och-endast-om-bevis. Det är inte uppgiften ovan. Omvändningen är inte sann. Det finns oändligt många sådana triplar,

https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple

Så ditt bevis är endast i en riktning, implikation, inte ekvivalens.

Så detta bevis är fullständigt eftersom att omvändningen av det inte är sann? Är det problematiskt att beviset endast går i en riktigt? 

Beviset ska bara gå i en riktning. Det vi ska bevisa är att om triangelns sidor står i proportion 3:4:5 till varandra så är triangeln rätvinklig. 

Vi kan undersöka detta lite. Det fetstilta ovan karaktäriserar två viktiga övergångar i meningen. "Om triangelns sidor står i proportion 3:4:5 till varandra" är det vi antar är sant och "så är" kan vi tolka som en implikationspil, $\implies$. 

Vi bara visa en riktning: Triangelns sidor står i proportion 3:4:5 till varandra $\implies$ triangeln är rätvinklig.

Som du nämnde gäller inte det omvända. Exempelvis är en triangel vars sidor har proportionerna 5:12:13 också rätvinklig.

Tillägg: 21 apr 2026 22:04

Man vill visa båda riktningar när man har en ekvivalens, $\iff$. Ett exempel på en sats som vi kan skriva som en ekvivalens är, passande tema här, Pythagoras sats. 

Ofta brukar man skriva Pythagoras sats som "I varje rätvinklig triangel gäller det att summan av kateternas kvadrater är kvadraten av hypotenusan". Men detta är egentligen bara en av implikationerna, det omvända gäller också. Om din triangel är rätvinklig gäller Pythagoras sats. Om du hittar någon triangel där Pythagoras sats gäller så är den rätvinklig.

$\textbf{Sats (Pythagoras sats)}$
Låt $ABC$ vara en triangel med sidlängderna $a,b,c$ där $c$ är den längsta sidan. Då gäller det att 
$ABC$ är rätvinklig $\iff a^2+b^2 = c^2$ 

och då, om du skulle vela bevisa denna "variant" av Pythagoras sats skulle du behöva visa båda hållen. 

Nu blev jag lite distraherad, men vill också ge lite av mina tankar på din ursprungliga fråga. 

En bra början är att skriva upp det vi vet och det vi vill bevisa. På mina föreläsningar i en kurs med rätt många bevis brukar min föreläsare, när hon håller på att visa en grundläggande sats med nya definitioner, säga "let us parse the definitions". Detta är alltid en bra start. 

Så, för ditt exempel, vad vet vi? Jo vi har en triangel vars sidor har proportionen $3:4:5$. Då kan vi skriva sidorna, som du gjort ovan, som $3x, 4x, 5x$. 

(denna bild är medvetet missvisande, ibland kan det vara bra så att man inte gör några felaktiga antaganden. Men det kan också vara dåligt för ens inuition!)

Vad är det vi vill visa? Att triangeln är rätvinklig, vilket karaktäriseras av att Pythagoras sats gäller. Eftersom vi har sidlängderna kan vi testa detta och upptäcka att Pythagoras sats gäller! Då är vi klara. 

Testa att skriva upp allt du vet och det du vill visa på någon annan fråga. Får du några idéer på vad du kan göra för att visa påståendet? Försök få idéer både från den informationen vi vet, men även från det vi vill visa. 

PS:
Ett mycket tråkigt, men giltigt, bevis av PQ-formeln (detta är inte super-relevant, bara lite öppna tankar kring bevis)

$\textbf{Sats (PQ-formeln)}$ 
Alla lösningar till $\displaystyle x^2 + px + q = 0$ ges av $\displaystyle x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}4 - q}$.

Om man köper att en andragradsekvation högst kan ha två lösningar så kan vi bevisa PQ-formeln genom att bara stoppa in värdet för $x$ vi får föreslaget av satsen. Vi får noll och därmed stämmer satsen!

Detta är självklart inte ett särskilt spännande bevis av satsen, då vi inte får någon information på hur lösningen på $x$ togs fram, vilket härleds i vanliga bevis av PQ-formeln. Detta är däremot inte något problem om man vill visa för någon att satsen stämmer, vi stoppade in värdet och fick noll!  

Jag ville ta upp detta eftersom det är det mest effektiva att göra enligt min uppställning jag nämnde. Vad vill vi visa? Jo att $x = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}4 - q}$ löser ekvationen $x^2 + px + q = 0$ och ett sätt att göra det är att bara stoppa in och testa (givet att man vet att en andragradare har högst två lösningar)! 

Tillägg: 21 apr 2026 22:50

Jag kan också tillägga ett exempel på "parsing definitions" av något som gjordes i början av min kurs. Detta kan eventuellt vara mycket knepigt (i så fall kan du ignorera detta tillägg eller fråga!), men ville bara ge ett helt annorlunda exempel till vad som dykt upp i din kurs, det kanske kan hjälpa att ge tankar på hur bevis kan se ut?

I början av min kurs kan vi säga att vi studerade olika operationer (alltså exempelvis addition, multiplikation, etc). Bortsett från exempel kan vi säga att en operation är ett sätt att kombinera ihop två element för att få ut ett tredje. 

Dessa operationer kan ha ett så kallat neutralt element eller identitetselement. Detta är element som, när man använder operationen på dem, så ändras ingenting. Identitetselementet för addition är $0$. Om man adderar noll till ett tal ändras inget, $a+0 = a$. Identitetselementet för multiplikation är $1$, eftersom $a\cdot 1 = a$. 

Om vi har någon operation, som vi kommer beteckna med $\circ$, visar det sig att det bara kan finnas ett unikt identitetselement. Alltså kan du inte, för vilken operation som helst, hitta två olika element som är identitetselement.

Detta vill jag visa ett bevis på. 

Vi antar att det finns två identitetselement, vi kallar dem för $e$ och $f$.

Vad innebär det då att dessa är identitetselement? Jo, det gäller alltid att $a\circ e = a$ och $e \circ a = a$. Dessutom gäller det alltid att $a\circ f = a$ och $f\circ a = a$.

Vad vill vi då visa med dessa identitetselement? Jo, att $e=f$. Om vi visar detta har vi då visat att bara ett identitetselement kan bara ett finnas. 

Vi undersöker $e\circ f$.

Å ena sidan är $e$ ett identitetselement, och inget ändras när vi använder $\circ$ på det. Därmed är $e \circ f = f$.

MEN, $f$ är också ett identitetselement och enligt samma logik som ovan har vi att $e \circ f = e$.

Därmed har vi visat att $e = e\circ f = f$, alltså är $e=f$ och identitetselementet är unikt. Bevis klart!