Skriva y = sinx + cosx på formen Y=Csin(x+v)

Jag undrar över den ursprungliga texten till denna uppgift men...

Finns det några trevliga vinklar "v" för vilka det gäller att:
sin(v)=cos(v)

Affe Jkpg skrev :

Jag undrar över den ursprungliga texten till denna uppgift men...

Finns det några trevliga vinklar "v" för vilka det gäller att:
sin(v)=cos(v)

Sin(v) = Cos (90 - v)

Na...det ska ju stå samma sak inom de båda parenteserna.
Rita gärna en enhetscirkel...så kanske du kommer på lösningen

Affe Jkpg skrev :

Na...det ska ju stå samma sak inom de båda parenteserna.
Rita gärna en enhetscirkel...så kanske du kommer på lösningen

sin45 + cos45? Ingen aning om vad du menar. 
Uppgiften som detta tillhör är följande: "Det område som begränsas av de positiva kordinataxlarna och kurvan y=sinx+cosx får rotera kring x axeln. Bestäm rotationskroppens volym" 

Jag har redan kommit på att man inte behöver skriva om funktionen men om man skulle rotera den kring y axeln så skulle man behöva det. Fast jag vill ändå  veta varför det inte går att skriva det som en funktion på det sättet. 

Se formel för omskrivning nedan:

tomast80 skrev :

Se formel för omskrivning nedan:

Japp, den kan jag men titta nu. Nu ska jag härleda formeln och så blir det fel. 
$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{A}\mathbf{·}\mathbf{sin}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{B}\mathbf{·}\mathbf{cos}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\\ \mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{C}\mathbf{·}\mathbf{sin}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{v}\mathbf{)}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{A}\mathbf{·}\mathbf{sin}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{B}\mathbf{·}\mathbf{cos}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\\ \mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{C}\mathbf{·}\mathbf{cos}\mathbf{\left(}\mathbf{v}\mathbf{\right)}\mathbf{·}\mathbf{sin}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{C}\mathbf{·}\mathbf{sin}\mathbf{\left(}\mathbf{v}\mathbf{\right)}\mathbf{·}\mathbf{cos}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\end{array}\right. \\ \mathit{O}\mathit{m}\mathbf{ }\mathit{d}\mathit{e}\mathit{t}\mathbf{ }\mathit{s}\mathit{k}\mathit{a}\mathbf{ }\mathit{s}\mathit{t}\mathit{ä}\mathit{m}\mathit{m}\mathit{a}\mathbf{ }\mathit{s}\mathit{å}\mathbf{ }\mathit{m}\mathit{å}\mathit{s}\mathit{t}\mathit{e}\mathbf{ } \\ \left\{\begin{array}{l}\mathbf{A}\mathbf{=}\mathbf{C}\mathbf{·}\mathbf{cos}\mathbf{\left(}\mathbf{v}\mathbf{\right)}\\ \mathbf{B}\mathbf{=}\mathbf{C}\mathbf{·}\mathbf{sin}\mathbf{\left(}\mathbf{v}\mathbf{\right)}\end{array}\right. \\ \mathit{A}\mathbf{+}\mathit{B}\mathbf{=}\mathbf{C}\mathbf{·}\mathbf{cos}\mathbf{\left(}\mathbf{v}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{C}\mathbf{·}\mathbf{sin}\mathbf{\left(}\mathbf{v}\mathbf{\right)} \\ {\mathit{A}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathit{B}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}{\mathit{C}}^{\mathbf{2}}\mathbf{·}{\mathbf{cos}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\left(}\mathit{v}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathit{C}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{sin}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\left(}\mathit{v}\mathbf{\right)} \\ {\mathit{A}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathit{B}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathit{C}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\left(}\mathit{C}\mathit{o}{\mathit{s}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\right(}\mathit{v}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathbf{sin}}^{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathit{v}\mathbf{\left)}\mathbf{\right)} \\ {\mathit{A}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathit{B}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}{\mathit{C}}^{\mathbf{2}} \\ \mathit{C}\mathbf{=}\sqrt{{\mathbf{A}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{B}}^{\mathbf{2}}} \end{gathered}$$

Jaa där ser ni härledningen till varför amplituden blir som den blir MEN titta här! 
$$\begin{gathered} \mathit{I}\mathbf{ }\mathit{m}\mathit{i}\mathit{t}\mathit{t}\mathbf{ }\mathit{f}\mathit{a}\mathit{l}\mathit{l}\mathbf{ }\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{S}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathit{C}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathit{s}\mathit{å}\mathbf{ }\mathit{ä}\mathit{r}\mathbf{ }\mathit{a}\mathit{m}\mathit{p}\mathit{l}\mathit{i}\mathit{t}\mathit{u}\mathit{d}\mathit{e}\mathit{n}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathit{p}\mathit{å}\mathbf{ }\mathit{b}\mathit{å}\mathit{d}\mathit{a}\mathbf{ }\mathit{t}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{m}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{n}\mathit{a} \\ \mathit{A}\mathit{l}\mathit{l}\mathit{t}\mathit{s}\mathit{å}\mathbf{ } \\ \mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathit{C}\mathbf{·}\mathbf{cos}\mathbf{\left(}\mathit{v}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathit{C}\mathbf{·}\mathbf{sin}\mathbf{\left(}\mathit{v}\mathbf{\right)} \\ \mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathit{C}\mathbf{·}\mathbf{cos}\mathbf{\left(}\mathit{v}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathit{C}\mathbf{·}\mathbf{sin}\mathbf{\left(}\mathit{v}\mathbf{\right)} \\ \mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{=}{\mathit{C}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\left(}\mathit{C}\mathit{o}{\mathit{s}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\right(}\mathit{v}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathit{S}\mathit{i}{\mathit{n}}^{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathit{v}\mathbf{\left)}\mathbf{\right)} \\ \mathbf{4}\mathbf{\hspace{0.17em}}\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathit{C}}^{\mathbf{2}} \\ \mathit{C}\mathbf{=}\mathbf{\pm }\mathbf{2} \end{gathered}$$

Titta, det fungerar inte längre?

Jag förstår inte riktigt vad du gör här i sista beräkningen. Du har att det gäller att

$A\sin \left(x\right) + B\cos \left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\sqrt{A^2+B^2}\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin \left(x\right) + \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos \left(x\right)\right)$

Nu lägger vi märke till att konstanterna $\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} och \frac{{\displaystyle B}}{{\displaystyle \sqrt{A^2+B^2}}}$ är sådana att deras kvadratsumma är lika med ett, detta innebär alltså om vi skulle rita ut punkten

$\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}, \frac{{\displaystyle B}}{{\displaystyle \sqrt{A^2+B^2}}}\right)$

i ett koordinatsystem, så skulle den hamna på enhetscirkeln. Detta måste innebär att vi kan finna en lösning v till ekvationssystemet

$$\begin{gathered} \cos \left(v\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}, \\ \sin \left(v\right) =\hspace{0.17em}\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} \end{gathered}$$

För att göra det så kan vi dividera andra ekvationen med första och få att

$\tan \left(v\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{B}{A}$

och sedan lösa denna och se till så att v hamnar i rätt kvadrant så att den löser ursprungliga ekvationssystemet. För detta v så kommer vi ju då ha att

$$\begin{gathered} \sqrt{A^2+B^2}\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin \left(x\right) + \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos \left(x\right)\right)=\sqrt{A^2+B^2}\left(\sin \left(x\right)\cos \left(v\right) + \cos \left(x\right)\sin \left(v\right)\right) \\ =\sqrt{A^2+B^2}\sin (x + v) \end{gathered}$$

Så detta är sättet att härleda detta på.

I ditt fall så har vi ju att A = B = 1 och då får vi ekvationssystemet

$$\begin{gathered} \cos \left(v\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{1}{\sqrt{2}}, \\ \sin \left(v\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{1}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$

och detta har ju lösningen $v = \pi/4$, så därför får man att

$\sin \left(x\right)\hspace{0.17em}+ \cos \left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\sqrt{2}\sin \left(x + \frac{\pi }{4}\right)$

Stokastisk skrev :

Jag förstår inte riktigt vad du gör här i sista beräkningen. Du har att det gäller att

$A\sin \left(x\right) + B\cos \left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\sqrt{A^2+B^2}\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin \left(x\right) + \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos \left(x\right)\right)$

Nu lägger vi märke till att konstanterna $\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} och \frac{{\displaystyle B}}{{\displaystyle \sqrt{A^2+B^2}}}$ är sådana att deras kvadratsumma är lika med ett, detta innebär alltså om vi skulle rita ut punkten

$\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}, \frac{{\displaystyle B}}{{\displaystyle \sqrt{A^2+B^2}}}\right)$

i ett koordinatsystem, så skulle den hamna på enhetscirkeln. Detta måste innebär att vi kan finna en lösning v till ekvationssystemet

$$\begin{gathered} \cos \left(v\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}, \\ \sin \left(v\right) =\hspace{0.17em}\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} \end{gathered}$$

För att göra det så kan vi dividera andra ekvationen med första och få att

$\tan \left(v\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{B}{A}$

och sedan lösa denna och se till så att v hamnar i rätt kvadrant så att den löser ursprungliga ekvationssystemet. För detta v så kommer vi ju då ha att

$$\begin{gathered} \sqrt{A^2+B^2}\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin \left(x\right) + \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos \left(x\right)\right)=\sqrt{A^2+B^2}\left(\sin \left(x\right)\cos \left(v\right) + \cos \left(x\right)\sin \left(v\right)\right) \\ =\sqrt{A^2+B^2}\sin (x + v) \end{gathered}$$

Så detta är sättet att härleda detta på.

---

 

I ditt fall så har vi ju att A = B = 1 och då får vi ekvationssystemet

$$\begin{gathered} \cos \left(v\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{1}{\sqrt{2}}, \\ \sin \left(v\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{1}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$

och detta har ju lösningen $v = \pi/4$, så därför får man att

$\sin \left(x\right)\hspace{0.17em}+ \cos \left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\sqrt{2}\sin \left(x + \frac{\pi }{4}\right)$

$$\begin{gathered} {\mathit{A}}^{}\mathbf{+}{\mathit{B}}^{}\mathbf{=}{\mathit{C}}^{}\mathbf{·}{\mathbf{cos}}^{}\mathbf{\left(}\mathit{v}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathit{C}}^{}\mathbf{·}{\mathbf{sin}}^{}\mathbf{\left(}\mathit{v}\mathbf{\right)} \\ {\mathit{A}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathit{B}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}{\mathit{C}}^{\mathbf{2}}\mathbf{·}{\mathbf{cos}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\left(}\mathit{v}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathit{C}}^{\mathbf{2}}\mathbf{·}{\mathbf{sin}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\left(}\mathit{v}\mathbf{\right)} \\ {\mathit{A}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathit{B}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}Bryt\mathit{ }ut\mathit{ }{\mathit{C}}^{\mathit{2}}\mathit{\left(}\mathit{C}\mathit{o}{\mathit{s}}^{\mathit{2}}\mathit{\right(}\mathit{v}\mathit{)}\mathit{ }\mathit{+}\mathit{ }\mathit{S}\mathit{i}{\mathit{n}}^{\mathit{2}}\mathit{(}\mathit{v}\mathit{\left)}\mathit{\right)}Trigonometriska\mathit{ }ettan\mathit{(}co{s}^{\mathit{2}}\mathrm{x}\mathit{+}si{n}^{\mathit{2}}\mathrm{x}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{1}\mathit{)} \\ {\mathit{A}}^{\mathit{2}}\mathit{+}{\mathit{B}}^{\mathit{2}}\mathit{=}{\mathit{C}}^{\mathit{2}}\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ } \end{gathered}$$

Vilket förstod du inte? 

Jag förstår faktiskt inte riktigt vad du gör, vart får du ekvationen

$A+B=C\cos \left(v\right)\hspace{0.17em}+ C\sin \left(v\right)$

ifrån? Notera också att om du kvadrerar denna så får du inte

$A^2+B^2=C^2{\cos }^2\left(v\right)+C^2{\sin }^2\left(v\right)$

Det skulle vara att använda "önskeregeln" $(a + b{)}^2=a^2+b^2$, medan det korrekta är att $(a + b{)}^2=a^2+2ab+b^2$.

Stokastisk skrev :

Jag förstår faktiskt inte riktigt vad du gör, vart får du ekvationen

$A+B=C\cos \left(v\right)\hspace{0.17em}+ C\sin \left(v\right)$

ifrån? Notera också att om du kvadrerar denna så får du inte

$A^2+B^2=C^2{\cos }^2\left(v\right)+C^2{\sin }^2\left(v\right)$

Det skulle vara att använda "önskeregeln" $(a + b{)}^2=a^2+b^2$, medan det korrekta är att $(a + b{)}^2=a^2+2ab+b^2$.

Ekvationerna kvadreras och adderas ledvis. 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathbf{A}\mathbf{=}\mathbf{C}\mathbf{·}\mathbf{sin}\mathbf{\left(}\mathbf{v}\mathbf{\right)}\\ \mathbf{B}\mathbf{=}\mathbf{C}\mathbf{·}\mathbf{cos}\mathbf{\left(}\mathbf{v}\mathbf{\right)}\end{array}\right. \\ \mathit{k}\mathit{v}\mathit{a}\mathit{d}\mathit{r}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{a}\mathbf{ }\mathit{d}\mathit{o}\mathit{m}\mathbf{ }\mathit{s}\mathit{å}\mathbf{ }\mathit{f}\mathit{å}\mathit{r}\mathbf{ }\mathit{m}\mathit{a}\mathit{n}\mathbf{ }\mathit{d}\mathit{e}\mathit{t}\mathbf{ } \end{gathered}$$ 

Man kvadrerar först sedan adderar

Stokastisk skrev :

Jag förstår faktiskt inte riktigt vad du gör, vart får du ekvationen

$A+B=C\cos \left(v\right)\hspace{0.17em}+ C\sin \left(v\right)$

ifrån? Notera också att om du kvadrerar denna så får du inte

$A^2+B^2=C^2{\cos }^2\left(v\right)+C^2{\sin }^2\left(v\right)$

Det skulle vara att använda "önskeregeln" $(a + b{)}^2=a^2+b^2$, medan det korrekta är att $(a + b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

Jaaaa, då blir det rätt. När man kvadrerar de först så får man c^2 = 2 Javisst. Jag kom på vad felet var. Tack 

Ja, fast det gör du ju inte när du beräknar

$4=C^2$

Utan du har ju att

$$\begin{gathered} A^2+B^2=C^2\Rightarrow \\ 1 + 1 =\hspace{0.17em}{C}^2\Rightarrow \\ C =\hspace{0.17em}\pm \sqrt{2} \end{gathered}$$

MattePapput skrev :

Affe Jkpg skrev :

Na...det ska ju stå samma sak inom de båda parenteserna.
Rita gärna en enhetscirkel...så kanske du kommer på lösningen

sin45 + cos45? Ingen aning om vad du menar. 
Uppgiften som detta tillhör är följande: "Det område som begränsas av de positiva kordinataxlarna och kurvan y=sinx+cosx får rotera kring x axeln. Bestäm rotationskroppens volym" 

Jag har redan kommit på att man inte behöver skriva om funktionen men om man skulle rotera den kring y axeln så skulle man behöva det. Fast jag vill ändå  veta varför det inte går att skriva det som en funktion på det sättet. 

$$\begin{gathered} \sin (45+n180)=\cos (45+n180)=+\frac{1}{\sqrt{2}}eller-\frac{1}{\sqrt{2}} ;n är ett heltal \\ C=+\sqrt{2} eller -\sqrt{2} \end{gathered}$$

Men sedan tycks du presentera en annan uppgift:

$\int ydx$

med okända integrationsgränser