5 svar
139 visningar
Leonhart är nöjd med hjälpen!
Leonhart 441
Postad: 24 feb 2020

Skuggade area

Jag har lösningen till denna men jag förstår inte första steget. -aax2dx är den integralen jag skrev upp, men i lösningen har man skrivit -aa(a2-x2)dx, vart kom aifrån? Jag trodde att man skulle skriva funktionen till grafen vid integraltecknet? 

Dr. G 5407
Postad: 24 feb 2020

Tänk på att 

abf(x)dx\int_a^bf(x) dx

ger arean mellan kurvan och x-axeln från x = a till x = b (om f(x) > 0, som här).

Integralen du har ställt upp ger alltså arean på ett annat område som du kan markera i figuren. 

Leonhart 441
Postad: 24 feb 2020
Dr. G skrev:

Tänk på att 

abf(x)dx\int_a^bf(x) dx

ger arean mellan kurvan och x-axeln från x = a till x = b (om f(x) > 0, som här).

Integralen du har ställt upp ger alltså arean på ett annat område som du kan markera i figuren. 

Menar du att jag har ställt upp arean för det vita området i rektangeln? Men hur ska man isåfall veta vilken integral som ska ställas upp när den inte begränsas av x-axeln?

Yngve 15847 – Mattecentrum-volontär
Postad: 24 feb 2020 Redigerad: 24 feb 2020

Du har ställt upp en integral vars värde är lika stort som den rödstreckade arean:

För att beräkna arean mellan två kurvor där x-axeln inte är inblandad ska du integrera den "övre funktionen" minus den "undre funktionen".

I det här fallet är den "övre funktionen" y=a2y=a^2 och "den undre funktionen" y=x2y=x^2.

Därav integranden a2-x2a^2-x^2.

Klicka här för klargörande utläggning

I själva verket gäller alltid "övre funktion" minus "undre funktion". Men ofta är det x-axeln som är "undre funktion", t.ex. vid beräkning av den rödstreckade arean ovan. Med "övre funktion" f(x)=x2f(x)=x^2 och "undre funktion" (dvs x-axeln) g(x)=0g(x)=0 så blir integralen Då f(x)-g(x)=f(x)-0=f(x)f(x)-g(x)=f(x)-0=f(x).

Det förklarar även minustecknet då grafen ligger under x-axeln, t.ex om vi skulle beräkna arean av den slutna yta som begränsas av x-axeln och g(x)=x2-1g(x)=x^2-1. Då är "övre funktion" f(x)=0f(x)=0 och "undre funktion" y=x2-1y=x^2-1. Integralen blir därmed f(x)-g(x)=0-g(x)=-g(x)f(x)-g(x)=0-g(x)=-g(x).

Leonhart 441
Postad: 24 feb 2020
Yngve skrev:

Du har ställt upp en integral vars värde är lika stort som den rödstreckade arean:

För att beräkna arean mellan två kurvor där x-axeln inte är inblandad ska du integrera den "övre funktionen" minus den "undre funktionen".

I det här fallet är den "övre funktionen" y=a2y=a^2 och "den undre funktionen" y=x2y=x^2.

Därav integranden a2-x2a^2-x^2.

Jag är inte så jätte insatt i ämnet då jag nyligen studerade integraler. Men hur vet man vad som ska vara den övre- och under funktionen?

Den övre funktionen är den som ligger "ovanför" den undre funktionen, dvs högre upp på y-axeln.

För att ta reda på vilken funktion som.ligger överst behöver du ofta kunna rita en enkel skiss över funktionernas grafer.

Se även min uppdatering i det tidigare svaret.

Svara Avbryt
Close