Sned asymptot, extrempunkt och inflektionspunkter

Skissa grafen till följande funktioner. Använd all information du kan få direkt från funktionen, dess derivata och dess andraderivata.

f (x) = x + 2x + 2 tan−1 x

y' = $\frac{-2}{{\sin }^2\left(x\right)}$

y''=$\frac{4\cos x}{{\sin }^{3}x}$

Här tycker jag först och främst att det inte borde finnas någon extrempunkt eftersom det inte finns något i täljaren för y' som kan bli 0. Inflektionspunkter ska vara då 4cosx=0 så pi/2+kpi. 

För en sned asymptot måste vi veta eventuellt k-värde detta är f(x)/x=limx->oändliogheten: $1+\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x\tan x}$=1

m-värde är limx->oändligheten då fx-kx=$x+\frac{2}{x}+\frac{2}{\tan x}-x=\frac{2}{x}+\frac{2}{\tan x}$. Här är problemet också att tanx oscillerar mellan +oändlighet och -oändlighet så där tycker jag gränsvärdet måste vara odefinierar eller 0.

För att  det ska finnas en sned asymptot måste limx->oändligheten  för f(x)-(kx+m)=

$x+\frac{2}{x}+\frac{2}{\tan x}-x=\frac{2}{x}+\frac{2}{\tan x}\ne$0

Så då borde det ej finnas en asymptot?

Men det ska det göra.

Hur har jag gjort fel, hur ska man göra?

Vi har definierat tre typer av asymptoter: grafen y = f (x) har en vertikalasymptot vid x = a om limx→a± f (x) = ±∞ (dvs. minst en av fyra olikamöjligheter är uppfyllda, t.ex. limx→a− f (x) = ∞), en horisontell asymptoty = L ˚at höger om limx→∞ f (x) = L, och en sned asymptot y = kx + m åt höger om limx→∞ f (x) − (kx + m) = 0. Om f har sådan sned asymptot åt höger, så gäller k = limx→∞f (x)x och m = limx→∞(f (x) − kx).En horisontell resp. sned asymptot åt vänster definieras helt analogt, men med “x → −∞” ist¨allet f¨or “x → ∞”.