Sök en nollskilld vektor till en linjär avbildning

Uppgiften är som följer:

En linjär avbildning T: R^3 --> R^3 har matrisen

A = $[\begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 1 & 0 \end{matrix}]$

Bestäm en vektor "v" som inte är nollvektorn sådan att "v" och bildvektorn Av har samma belopp (längd).

Hur långt jag har kommit:

Egenvärden jag fått har varit delvis komplexa tal och delvis tal med många decimaler alltså undviker jag att försöka lösa uppgiften med dem. Jag förstår att jag söker efter en egenvektor som har egenvärde 1 men när jag försöker lösa ut för egenvektorn med hjälp av formeln (A - $λ$ E)v = 0 får jag nollvektorn.

Sambandet man kan tolka sig fram är att $|v|$ = $|A v|$ $\underset{}{\to}$ (Av) * (Av) = v * v $\underset{}{\to}$ v^T *A^T *Av = v^T * v $\underset{}{\to}$

v^T (A^T *A - E)v = 0 Där E är enhetsmatrisen

Innanför parantesen får jag matrisen $[\begin{matrix} 5 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}]$

Från vad jag kunnat förstå med min konversation med chatgpt är ska jag nu lösa ekvationssystemet och få ut en egenvektor. Mitt problem är att jag inte förstår hur detta ger oss en egenvektor. Sambandet för att hitta egenvektorer är just att (A - λE)v = 0 Jag förstår att det samband jag fick fram är ganska lika och att i sambandet jag har fått fram är egenvärdet = 1 men bör inte faktum att vi har v^Toch v på båda sidorna av parantesen påverka resultatet på något sätt? Tänker jag helt fel eller bör jag lösa uppgiften på ett annat sätt?

Du kan kanske dela upp A i en symmetrisk del A_s = (A + A^T)/2 och en antisymmetrisk del A_a = (A-A^T)/2.

Då gäller det att v^TAv = v^TA_sv. A_shar alltid reella egenvärden och kan diagonaliseras - med ON bas.

Kanske en möjlig väg.

Eller, eftersom A^TA - E är symmetrisk så kan du diagonalisera denna direkt med ortogonal matris.

Det finns alltså en ortogonal matris R sådan att

(A^TA - E) = RDR^T, där D är en diagonal matris med egenvärdena på diagonalen.

Om man inför u = R^Tv, så kan vårt problem skrivas

u^TDv = 0

Dvs

$λ_{1} {(u_{1})}^{2} + λ_{2} {(u_{2})}^{2} + λ_{3} {(u_{3})}^{2} = 0$ .

Man ser tex att om alla egenvärden är större än noll så finns ingen trivial lösning.

$(Av)^T(Av)=v^Tv$ , dvs

$v^TA^TAv=v^Tv$

$v^TMv$ Känner vi igen som en kvadratisk form. Tydligen ska den vara $||v||^2$ lång.

Det finns en sats som säger ungefär att om $M$ är en symmetrisk matris med minsta egenvärde $\lambda_{\mathrm{min}}$ och största egenvärde $\lambda_{\mathrm{max}}$ så gäller att

$\lambda_{\mathrm{min}}||x||^2\leq x^TMx\leq \lambda_{\mathrm{max}}||x||^2$

Likhet fås om och endast om $x$ väljs som respektive tillhörande egenvektor (eller $x=0$ ).

Svara

Visa senaste svar