Söker alternativ lösning / förklaring på uppgift.

Uppgiften lyder:

"Figuren visar två halvcirklar med medelpunkt i origo. AB är en korda till den stora cirkeln och en tangent till den lilla cirkeln så att AB är parallell med x-axeln. Anta att AB har längden d.

Visa att arean av det färgade området kan skrivas $(\frac{\pi d^2}{8})$ "

 

Jag tänker att det färgade området är differensen mellan den stora halvcirkeln och den lilla. D.vs:

$(\frac{\pi R^2}{2} - \frac{\pi r^2}{2})$

Längre än så kom jag inte riktigt. Jag kikade därför i facit och såg följande ledtråd:

"Motivera sambandet: $(R^2 - r^2 = (\frac{d}{2})^2)$"

 

Jag tycker mig kunna se att lilla radien är 0,5d. Jag har ritat en rätvinklig triangel som jag tycker ger $(r^2 + r^2 = R^2)$ , vilket torde vara det samma som $(2r^2=R^2)$

Alltså gäller att $(R^2-r^2)$ kan skrivas som $(2r^2 - r^2 = r^2)$

eftersom att r = 0,5d får jag då $(R^2-r^2=(\frac{d}{2})^2)$ vilket var sambandet som söktes (eftersom att r kan bytas ut mot 0,5d och 0,5d är det samma som d/2.

Därifrån kan jag använda uttrycket för att lösa uppgiften. 

Först och främst. Är mitt resonemang korrekt? Mitt problem är att utan att kolla i facit tror jag inte att jag skulle komma på att bevisa just det sambandet. Är det för att jag behöver just ett "d" som denna omskrivning av variabler/förhållanden blir nödvändig? Finns det någon alternativ lösning som kanske är lättare för mig att begripa?

Tack på förhand.