Söker lite guidning med Differentialekvationer

Hej allesammans.

Sitter och pluggar inför en tenta som kommer nu om några dagar och försöker lära mig differentialekvationer av 2 elr högre ordning. Jag är lite osäker över den partikulära lösningen då jag inte riktigt alltid får det att gå ihop.

Jag visste inte riktigt hur jag skulle förklara min fråga på bästa sätt, så jag ger ett exempel först, så det kanske är lättare att förstå vad jag undrar över! ^^

Om vi tar till diffekv. som följande:

$y\text{'}\text{'}\text{'}-6y\text{'}\text{'}+9y\text{'}=x+4e^x$

med homogenlösning som har rötter i $r_1=0 \& r_{2,3}=3$.

Sedan vet jag att jag behöver göra 2 lösningar för HL, en för x och en för $4e^x$.

För $4e^x$ behöver jag först göra en partikulärlösning:

$$\begin{gathered} y_p=z\left(x\right)e^x \\ y{\text{'}}_p=(z\text{'}(x)+z(x\left)\right)e^x \\ ... \end{gathered}$$

upp till tredje graden och sedan sätta in i DE för att få uttrycket:

$(z\text{'}\text{'}\text{'}-3z\text{'}\text{'}+4z)e^x =\hspace{0.17em}4e^x$

$z\text{'}\text{'}\text{'}-3z\text{'}\text{'}+4z =\hspace{0.17em}4 ty e^x skillt från 0$

Sedan ställer man upp en ansatts för z och det är här jag inte är med längre.

Vad jag har lärt mig är att man kollar på HL och ser av vilken grad uttrycket är:

Är HL av grad 2 blir $z\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}A{x}^2+Bx+C$

Är HL av grad 1 blir $z=Ax + B$

Är HL av grad 0 blir $z=\hspace{0.17em}A$

Och om VL saknar någon term, (som i detta fall saknas z') då skall ett x läggas till.

Dvs ansatsen för z borde bli:

$z\left(x\right)=x\left(A\right)$

Enligt facit på tentan jag gör är så inte fallet dock. Utan ansatsen för z blir enbart: $z=A \Rightarrow z\text{'}=z\text{'}\text{'}=z\text{'}\text{'}\text{'}=0$

och ger ingen vidare förklaring till varför.

Min fråga är därför. Hur ska man tänka här? Finns det någon regel att följa eller hur ska man tänka? Jag hittar nämnligen inga svar i kurslitteratur eller dyl och hoppas på att någon annan vet.

Jag hoppas min fråga blev tillräckligt klar här!

Tack på förhand.

Viktor