sökt: ekv för de tangenter till kurvan y = x^3

Du skulle ha stor nytta av att rita kurvan och punkten.

På din lösning ser det ut som om du tror att punkten (0, 2) är tangeringspunkten. Men så är det inte, (0, 2) ligger utanför kurvan. Du ska hitta en linje som både går genom (0, 2) och tangerar kurvan. Rita så blir det klarare!

Att rita en bild är alltid bra för förbättra förståelsen.

Då kan man inse att man behöver två punkter för bestämma en rät linje.

Den första har du redan fått: $(0, 2)$

Den andra är den punkt där den räta linjen tangerar kurvan.
Eftersom vi inte vet var den punkten är kan vi ansätta den som $\left(x_0, y_0\right)$

En tangent är en rät linje och beskrivs därför alltid av ekvationen:
$y_T\left(x\right) = k·x + m$

Vi vet att tangenten måste ha samma gradient som kurvan i punkten $\left(x_0, y_0\right)$.
Det betyder att:
$k =\hspace{0.17em}y\text{'}\left(x_0\right) = 3x_0^2$

Eftersom punkten $\left(x_0, y_0\right)$ måste ligga på kurvan vet vi att:
$y_0 =\hspace{0.17em}{x}_0^3$

Men då denna punkt också ska ligga på tangenten måste:
$$\begin{gathered} y_0 = k·x_0 + m \\ \Rightarrow m = x_0^3 - 3x_0^2·x_0 = -2x_0^3 \end{gathered}$$

Vi kan nu sätta ihop ett uttryck för tangenten genom den okända punkten $\left(x_0, y_0\right)$.
$y_T\left(x\right) =\hspace{0.17em}{x}_0^2·\left(3x - 2x_0\right)$

Slutligen kan vi nu räkna ut för vilket $x_0$ denna tangent också går igenom punkten $\left(0, 2\right)$

jarenfoa skrev:

Att rita en bild är alltid bra för förbättra förståelsen.

Då kan man inse att man behöver två punkter för bestämma en rät linje.

Den första har du redan fått: $(0, 2)$

Den andra är den punkt där den räta linjen tangerar kurvan.
Eftersom vi inte vet var den punkten är kan vi ansätta den som $\left(x_0, y_0\right)$

En tangent är en rät linje och beskrivs därför alltid av ekvationen:
$y_T\left(x\right) = k·x + m$

Vi vet att tangenten måste ha samma gradient som kurvan i punkten $\left(x_0, y_0\right)$.
Det betyder att:
$k =\hspace{0.17em}y\text{'}\left(x_0\right) = 3x_0^2$

Eftersom punkten $\left(x_0, y_0\right)$ måste ligga på kurvan vet vi att:
$y_0 =\hspace{0.17em}{x}_0^3$

Men då denna punkt också ska ligga på tangenten måste:
$$\begin{gathered} y_0 = k·x_0 + m \\ \Rightarrow m = x_0^3 - 3x_0^2·x_0 = -2x_0^3 \end{gathered}$$

Vi kan nu sätta ihop ett uttryck för tangenten genom den okända punkten $\left(x_0, y_0\right)$.
$y_T\left(x\right) =\hspace{0.17em}{x}_0^2·\left(3x - 2x_0\right)$

Slutligen kan vi nu räkna ut för vilket $x_0$ denna tangent också går igenom punkten $\left(0, 2\right)$

Tack! Det hjälpte mycket!