Speglingar

brunbjörn skrev:

Såg denhär formeln: a $\to$2proj_b(a) - a , där a är inputvektorn och 2proj_b(a) - a är vektorn a:s reflektion.... men gäller det för alla speglingar?

Vad menas med b i formeln? Denna formel ger nämligen spegling i den linje vars riktningsvektor är b.

Det står faktiskt i videons beskrivning att man arbetar med speglingar av vektorer i en vektor, d.v.s. inte i ett plan.

Menar man spegling i det plan vars normalvektor är b, så är det formeln a ↦ a - 2 proj_b(a) som gäller.

Rita en figur med projektionen på planet (och/eller dess normal) samt den sökta spegelbilden för att kunna klura ut varför formeln ser ut som den gör.

LuMa07 skrev:

brunbjörn skrev:

Såg denhär formeln: a $\to$2proj_b(a) - a , där a är inputvektorn och 2proj_b(a) - a är vektorn a:s reflektion.... men gäller det för alla speglingar?

Vad menas med b i formeln? Denna formel ger nämligen spegling i den linje vars riktningsvektor är b.

Det står faktiskt i videons beskrivning att man arbetar med speglingar av vektorer i en vektor, d.v.s. inte i ett plan.

---

Menar man spegling i det plan vars normalvektor är b, så är det formeln a ↦ a - 2 proj_b(a) som gäller.

---

Rita en figur med projektionen på planet (och/eller dess normal) samt den sökta spegelbilden för att kunna klura ut varför formeln ser ut som den gör.

Hmmm... misstänkte det men asså hittade en likande tråd där de nämnde formen: https://www.pluggakuten.se/trad/spegling-39/ 😕 

Tycker att det är svårt at rita upp planet 

brunbjörn skrev:

Tycker att det är svårt at rita upp planet 

Ignorera x₃-koordinaten och rita bara upp x₁- och x₂-planet. Hur ritar du då upp där som x₁ = x₂?

Bedinsis skrev:

brunbjörn skrev:

Tycker att det är svårt at rita upp planet 

Ignorera x₃-koordinaten och rita bara upp x₁- och x₂-planet. Hur ritar du då upp där som x₁ = x₂?

Sen använde jag min hand för att få planet... men har liksom svårt för att ta fram speglingen (mycket enklare när planet är x₁x₂ planet) 

Hur skulle du spegla vektorn v= x₁? (dvs. en vektor som bara har utsträckning i x₁-led?)

Hur skulle du spegla vektorn v= x₂? (dvs. en vektor som bara har utsträckning i x₂-led?)

Bedinsis skrev:

Hur skulle du spegla vektorn v= x₁? (dvs. en vektor som bara har utsträckning i x₁-led?)

Hur skulle du spegla vektorn v= x₂? (dvs. en vektor som bara har utsträckning i x₂-led?)

Det är just det jag har svårt för 😕 har ingen aning 

Vrid huvudet 45 grader åt vänster så att din vita speglingsyta är vågrät. Kan du då hitta någon punkt ovanför linjen som du kan hitta dess spegelbild av, dvs. den punkt som ligger rakt nedanför på andra sidan linjen på samma avstånd till linjen?

Om det inte går att bara se det...

Kan du säga vad planets normal blir?

Bedinsis skrev:

Vrid huvudet 45 grader åt vänster så att din vita speglingsyta är vågrät. Kan du då hitta någon punkt ovanför linjen som du kan hitta dess spegelbild av, dvs. den punkt som ligger rakt nedanför på andra sidan linjen på samma avstånd till linjen?

Om det inte går att bara se det...

Kan du säga vad planets normal blir?

planets ekvation är : p = span { <1,1,0> , <0,0,1> } . En normal är <-1,1,0>

Men hur ser du speglingen när spegeln är vriden? Blir osäker när spegeln inte är horisontell eller vertikal

Just det, en normal är <-1,1,0>.

Kan du applicera speglingsformeln a ↦ a - 2 proj_b(a) då a är en vektor helt i x₁-led eller helt i x₂-led?

b ges här av planets normal.

Bedinsis skrev:

Just det, en normal är <-1,1,0>.

Kan du applicera speglingsformeln a ↦ a - 2 proj_b(a) då a är en vektor helt i x₁-led eller helt i x₂-led?

b ges här av planets normal.

Jo men asså är ju osäker kring när den formen används (dvs. i vilka sammanhang) 

När man vill spegla i ett plan.

Bedinsis skrev:

När man vill spegla i ett plan.

känns som att jag bara använder en formel utan att veta vad jag håller på med då... hur ser du vad reflektionen blir?  

Vektorn a kommer gå från origo till punkten som motsvarar dess koordinater.

Vektorn a - proj_b(a) kommer motsvara a minus a:s projektion på vektorn b. Vektorn b var planets normal, så genom att jobba på detta viset kommer vi endast ha kvar de bitar i a som har en utsträckning i planet, eftersom vi projicerat bort de bitar som har en utsträckning utanför planet.

Eftersom vektorn a - proj_b(a) pekar från origo till den punkt i planet som ligger närmast a så vill vi nu röra oss lika långt från planet som a befinner sig fast i andra riktningen. Eftersom vi fortfarande skall röra oss i normalens riktning och att det skall vara samma avstånd så skall vi subtrahera med igen proj_b(a), så i slutändan har vi vektorn a - proj_b(a) - proj_b(a) = a - 2*proj_b(a).

Rita upp en bild om du känner dig osäker. Hitta på ett a, rita upp dess vektor, rita upp dess projektion på normalen b, dvs. proj_b(a).

Här är den bild jag brukar använda. Notera att det fungerar då origo ingår i planet. Du kan använda samma princip för en linje, men notera att du då behöver ta fram en normal till linjen (och att linjen ska gå genom origo).

$P^\prime=P-2\frac{P\cdot N}{||N||^2}N=(E-\frac{2}{||N||^2}NN^t)P=T_RP$

D4NIEL skrev:

Här är den bild jag brukar använda. Notera att det fungerar då origo ingår i planet. Du kan använda samma princip för en linje, men notera att du då behöver ta fram en normal till linjen (och att linjen ska gå genom origo).

$P^\prime=P-2\frac{P\cdot N}{||N||^2}N=(E-\frac{2}{||N||^2}NN^t)P=T_RP$

Svaret på T(<1,0,0>) är enligt facit <0,1,0>  men jag får alltid det negativa av svaret... 

(jag föreställer mig att jag tittar ner på planet x1=x2, dvs så ser det ut som en linje då)

Planet $x_1=x_2$ har ekvationen

$x_1-x_2=0$ (Planets ekvation på normalform)

Du kan också uttrycka det som

$-x_1+x_2=0$

Alltså är två normaler (som pekar åt olika håll) $n_1=(1,-1,0)$ och $n_2=(-1,1,0)$

Oavsett vilken normal du väljer ger reflektionsformeln vi härledde ovan för $P=(1,0,0)$

$(1,0,0)-2\frac{(1,0,0)\cdot n}{||n||^2}n=(0,1,0)$

Du kanske kan visa du hur du räknade ut din reflektion? Av din bild framgår också att punkten $(1,0,0)$ borde mappas till $(0,1,0)$ (tycker jag!).

D4NIEL skrev:

Planet $x_1=x_2$ har ekvationen

$x_1-x_2=0$ (Planets ekvation på normalform)

Du kan också uttrycka det som

$-x_1+x_2=0$

Alltså är två normaler (som pekar åt olika håll) $n_1=(1,-1,0)$ och $n_2=(-1,1,0)$

Oavsett vilken normal du väljer ger reflektionsformeln vi härledde ovan för $P=(1,0,0)$

$(1,0,0)-2\frac{(1,0,0)\cdot n}{||n||^2}n=(0,1,0)$

Du kanske kan visa du hur du räknade ut din reflektion? Av din bild framgår också att punkten $(1,0,0)$ borde mappas till $(0,1,0)$ (tycker jag!).

 räknade inte ut reflektionen försökte ”se” den men nu när jag föreställer mig att planet är en spegel så ser jag faktiskt hur facit fick svaret! MEN när jag härleder formeln så får jag det till: vilket är samma som din FAST gånger -1 ☹️ 

Ja, du har härlett en formel som bygger på att man projicerar på planet istället för att projicera på planets normal. Den ger såklart också rätt svar

$\vec{r}=2\mathrm{Proj}_{\vec{b}}((1,0,0))-(1,0,0)=(0,1,0)$

Att projicera på planet är dock en liten omväg. Man kan t.ex. göra såhär för att hitta projektionen på planet:

$\mathrm{Proj}_{\vec{b}}\left(\vec{a}\right)=\vec{a}-\frac{a\cdot \vec{n}}{||\vec{n}||^2}\vec{n}=\vec{a}-\mathrm{Proj}_{\vec{n}}\left(\vec{a}\right)$

Om man sätter in projektionen som använder planets normal i din formel får man den "vanliga" formeln för reflektion

$2\mathrm{Proj}_{\vec{b}}\left(\vec{a}\right)-\vec{a}=\vec{a}-2\mathrm{Proj}_{\vec{n}}(\vec{a})$

Notera att det du kallar $\vec{b}$ alltså är projektionen av $\vec{a}$ på planet men att man i de vanliga formlerna använder projektionen av $\vec{a}$ på planets normal.

D4NIEL skrev:

Ja, du har härlett en formel som bygger på att man projicerar på planet istället för att projicera på planets normal. Den ger såklart också rätt svar

$\vec{r}=2\mathrm{Proj}_{\vec{b}}((1,0,0))-(1,0,0)=(0,1,0)$

Att projicera på planet är dock en liten omväg. Man kan t.ex. göra såhär för att hitta projektionen på planet:

$\mathrm{Proj}_{\vec{b}}\left(\vec{a}\right)=\vec{a}-\frac{a\cdot \vec{n}}{||\vec{n}||^2}\vec{n}=\vec{a}-\mathrm{Proj}_{\vec{n}}\left(\vec{a}\right)$

Om man sätter in projektionen som använder planets normal i din formel får man den "vanliga" formeln för reflektion

$2\mathrm{Proj}_{\vec{b}}\left(\vec{a}\right)-\vec{a}=\vec{a}-2\mathrm{Proj}_{\vec{n}}(\vec{a})$

Notera att det du kallar $\vec{b}$ alltså är projektionen av $\vec{a}$ på planet men att man i de vanliga formlerna använder projektionen av $\vec{a}$ på planets normal.

dum fråga kanske men hur vet du att min formlen projecerar på planet medan din på normalen? Så min formel är inte felaktig?

Din formel är korrekt om man tolkar din figur som att den rödmarkerade vektorn är det du avser med projektionen, alltså

Är denna del av vektorn (som ligger i planet, dvs projektionen av vektorn $\vec{a}$ på planet):

Är du med? Men att beräkna $\vec{b}$ kräver ju att du ändå använder planets normal eller bestämmer en bas för planet. 

Det du kallar $\vec{c}=\vec{a}-\mathrm{Proj}_{\vec{b}}\left(\vec{a}\right)$ är en normal till planet, närmare bestämt $\vec{c}=\mathrm{Proj}_{\vec{n}}\left(\vec{a}\right)$. dvs projektionen av $\vec{a}$ på planets normal.

D4NIEL skrev:

Din formel är korrekt om man tolkar din figur som att den rödmarkerade vektorn är det du avser med projektionen, alltså

Är denna del av vektorn (som ligger i planet, dvs projektionen av vektorn $\vec{a}$ på planet):

Är du med? Men att beräkna $\vec{b}$ kräver ju att du ändå använder planets normal eller bestämmer en bas för planet. 

Det du kallar $\vec{c}=\vec{a}-\mathrm{Proj}_{\vec{b}}\left(\vec{a}\right)$ är en normal till planet, närmare bestämt $\vec{c}=\mathrm{Proj}_{\vec{n}}\left(\vec{a}\right)$. dvs projektionen av $\vec{a}$ på planets normal.

Fattar inte vad för fel jag gör när jag använder formeln rakt av…. 

Din formel bygger som sagt på projektion utmed den vektor du kallar $\vec{b}$. Den är INTE riktad åt samma håll som normalen, tvärtom är den vinkelrät mot normalen. Så här:

Normalen till planet är den gröna pilen. Du försöker använda den som $\vec{b}$ i din projektion. Använd istället $\vec{b}=\vec{a}-Proj_{N}(\vec{a})$ om du ska använda din egen formel. 

Jag tror du blandar ihop formeln du lärt dig för att projicera utmed en vektor med projektion på ett plan, trots att planets normal är vinkelrät mot alla vektorer som ligger i planet. Blanda alltså inte ihop de snarlika koncepten projektion på plan och projektion utmed en vektor.

Du kan tänka dig att vektorn $\vec{a}$ består av två delar, en del $\vec{b}$ som är parallell med planet och en del $\vec{c}$ som är ortogonal (vinkelrät) mot planet. Detta är samma beteckningar du använder i din skiss. Alltså

$\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}$

Den ortogonala delen $\vec{c}$ är parallell med normalen till planet. 

D4NIEL skrev:

Din formel bygger som sagt på projektion utmed den vektor du kallar $\vec{b}$. Den är INTE riktad åt samma håll som normalen, tvärtom är den vinkelrät mot normalen. Så här:

Normalen till planet är den gröna pilen. Du försöker använda den som $\vec{b}$ i din projektion. Använd istället $\vec{b}=\vec{a}-Proj_{N}(\vec{a})$ om du ska använda din egen formel. 

Jag tror du blandar ihop formeln du lärt dig för att projicera utmed en vektor med projektion på ett plan, trots att planets normal är vinkelrät mot alla vektorer som ligger i planet. Blanda alltså inte ihop de snarlika koncepten projektion på plan och projektion utmed en vektor.

Det som förvirrar mig är att om jag inte skulle ha en aning kring vad reflektionen blir så hur hade jag då vetat vilken vektor b är?

Nu är det så att jag "ser" att normalen inte kan vara b EFTERSOM jag ser vad reflektionen blir.... dessutom det faktum att din och min formel inte är samma känns förvirrande 😕

Du har en triangel som ser ut så här:

$\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}$

Vi löser ut $\vec{b}$

$\vec{b}=\vec{a}-\vec{c}$

$\vec{c}$ är projektionen av $\vec{a}$ på planets normal:

$\vec{c}=\mathrm{Proj}_{\vec{n}}(\vec{a})$

Alltså kan du beräkna $\vec{b}$ för varje $\vec{a}$ och sedan använda din formel. Det är detta jag menar med att det blir ett extra steg att använda din formel.

För $\vec{a}=(1,0,0)$ blir $\vec{b}=(\frac12, \frac12,0)$ och

$2\mathrm{Proj}_{\vec{b}}(\vec{a})-\vec{a}=(0,1,0)$

D4NIEL skrev:

Du har en triangel som ser ut så här:

$\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}$

Vi löser ut $\vec{b}$

$\vec{b}=\vec{a}-\vec{c}$

$\vec{c}$ är projektionen av $\vec{a}$ på planets normal:

$\vec{c}=\mathrm{Proj}_{\vec{n}}(\vec{a})$

Alltså kan du beräkna $\vec{b}$ för varje $\vec{a}$ och sedan använda din formel. Det är detta jag menar med att det blir ett extra steg att använda din formel.

För $\vec{a}=(1,0,0)$ blir $\vec{b}=(\frac12, \frac12,0)$ och

$2\mathrm{Proj}_{\vec{b}}(\vec{a})-\vec{a}=(0,1,0)$

fast vad menar du med " Alltså kan du beräkna b för varje a"? hur vet man ens vad b är? 

Du vet inte vad $\vec{b}$ är. Du måste beräkna $\vec{b}$ för varje $\vec{a}$. 

$\vec{b}=\vec{a}-\mathrm{Proj}_{N}(\vec{a})$

För $a=(1,0,0)$ blir  $b=(\frac12, \frac12,0)$

För $a=(0,1,0)$ blir  $b=(\frac12, \frac12,0)$

För $a=(0,0,1)$ blir  $b=(0,0,1)$ (Planet är ju $x_1=x_2$))

(Det var förövrigt du själv som definierade vektor $\vec{b}$ i din skiss, så nu får du ta ansvar för den!  :-)

D4NIEL skrev:

Du vet inte vad $\vec{b}$ är. Du måste beräkna $\vec{b}$ för varje $\vec{a}$. 

$\vec{b}=\vec{a}-\mathrm{Proj}_{N}(\vec{a})$

För $a=(1,0,0)$ blir  $b=(\frac12, \frac12,0)$

För $a=(0,1,0)$ blir  $b=(\frac12, \frac12,0)$

För $a=(0,0,1)$ blir  $b=(0,0,1)$ (Planet är ju $x_1=x_2$))

(Det var förövrigt du själv som definierade vektor $\vec{b}$ i din skiss, så nu får du ta ansvar för den!  :-)

det var inte jag, det var han 😬Hur tar du fram din formel? 

Jag ritar bara upp planet med en godtycklig punkt(röd) och dess spegling (blå). Så här

Sedan tänker jag mig att jag ställer mig i origo (O)  och går först $\vec{a}$ till A och sedan -2 $\mathrm{Proj}_N(\vec{a})$ rakt ned till B. Är du med?

Notera också att videon du tittat på verkar vara reflektion över en  vektor (linje). Det vi gör är att reflektera i ett plan med en normal (normalen är en vektor som är vinkelrät mot planet). Eftersom vi redan har normalen till planet är det enkelt att beräkna vektorn $\mathrm{Proj}_N(\vec{a})$, dvs projektionen av $\vec{a}$ på normalen.

D4NIEL skrev:

Jag ritar bara upp planet med en godtycklig punkt(röd) och dess spegling (blå). Så här

Sedan tänker jag mig att jag ställer mig i origo (O)  och går först $\vec{a}$ till A och sedan -2 $\mathrm{Proj}_N(\vec{a})$ rakt ned till B. Är du med?

Notera också att videon du tittat på verkar vara reflektion över en  vektor (linje). Det vi gör är att reflektera i ett plan med en normal (normalen är en vektor som är vinkelrät mot planet). Eftersom vi redan har normalen till planet är det enkelt att beräkna vektorn $\mathrm{Proj}_N(\vec{a})$, dvs projektionen av $\vec{a}$ på normalen.

Jaha.... så b är egentligen onödig? så själva "algoritmen" är:

1. hitta en normal till planet (alternativ till linjen om vektorn ska reflekteras på en linje) 

2. räkna ut proj_N(a), N en normal till planet (eller linjen) 

3. räkna ut:

T(<1,0,0>) = <1,0,0> -2proj_N(<1,0,0>)

T(<0,1,0>) = <0,1,0> -2proj_N(<0,1,0>)

T(<0,0,1>) = <0,0,1> -2proj_N(<0,0,1>)

Med den formlen dvs r = a - 2proj_N(a), r är a:s reflektion,  så behöver man inte ens rita upp planet, bara följa stegen ovan 

Ja, förutom att du kan stryka steg 2. ovan eftersom det ingår i steg 3. Sammanfattningsvis kan man säga att:

När du har ett plan är normalen $N$ lätt tillgänglig. När du istället har en linje är det ofta linjens riktningsvektor $\vec{b}$ som är lätt tillgänglig. Vilken projektionsformel du väljer att använda beror på vad som är lätt tillgängligt.

Du behöver inte rita upp planet. Men jag skulle rekommendera dig att rita, tänka och tydligt sätta ut dina vektorer eftersom det är annars är lätt att blanda ihop saker :-)

D4NIEL skrev:

Ja, förutom att du kan stryka steg 2. ovan eftersom det ingår i steg 3. Sammanfattningsvis kan man säga att:

När du har ett plan är normalen $N$ lätt tillgänglig. När du istället har en linje är det ofta linjens riktningsvektor $\vec{b}$ som är lätt tillgänglig. Vilken projektionsformel du väljer att använda beror på vad som är lätt tillgängligt.

Du behöver inte rita upp planet. Men jag skulle rekommendera dig att rita, tänka och tydligt sätta ut dina vektorer eftersom det är annars är lätt att blanda ihop saker :-)

Tack för hjälpen och ditt enorma tålamod ❤️❤️❤️