Square Root of One

Det första är fel, inte alla potenslagar fungerar när vi har och göra med komplexa tal. Om man inte är försiktig kan man väldigt enkelt visa helt orimliga saker. rot(-1)^2 är helt enkelt -1.

Dracaena skrev:

Det första är fel, inte alla potenslagar fungerar när vi har och göra med komplexa tal. Om man inte är försiktig kan man väldigt enkelt visa helt orimliga saker. rot(-1)^2 är helt enkelt -1.

Svårt att tolka "rot(-1)^2".

Det gäller hur som helst att $\sqrt{x^2}=\vert x\vert$. Så $\sqrt{-1\cdot -1}=\sqrt{\left(-1\right)^2}=\vert -1\vert=1$.

Min fråga är varför rot symboliken ger fel resultat medan exponent symboliken ger rätt resultat

Det skulle betyda att (a)^½  och $\sqrt{a}$ inte är ekvivalenta 

Problemet är väl att roten av negativa tal inte är definierat, så $\sqrt{-1}$ är helt enkelt inte ett tal? Talet $i$ definieras inte som $\sqrt{-1}$ utan istället bara helt enkelt som det tal $x$ sådant att $x^2+1=0$?

För, precis som du upptäcker, om vi tillåter att ta roten ur negativa tal kan få få något mystiska resultat som exempelvis

$-1 = i*i = \sqrt{-1}*\sqrt{-1} = \sqrt{(-1)*(-1)} = \sqrt{1} = 1$

Moffen skrev:

Svårt att tolka "rot(-1)^2".

Jag missade ett par paranteser, tänkte skriva: (rot(-1))^2 men det kanske inte heller är så enkelt att tolka nu när jag blickar tillbaka. För att förtydliga så menade jag $(\sqrt{-1})^2=-1$.

Jag anser att man inte ska använda rotsymboliken när vi har komplexa tal
Det fungerar endast för reella tal

√-1  ska inte användas i beräkningar. I st ska vi skriva i

$(-1)^{1/2}$ fungerar inte bättre. 

Hondel skrev:

Problemet är väl att roten av negativa tal inte är definierat, så $\sqrt{-1}$ är helt enkelt inte ett tal? Talet $i$ definieras inte som $\sqrt{-1}$ utan istället bara helt enkelt som det tal $x$ sådant att $x^2+1=0$?

För, precis som du upptäcker, om vi tillåter att ta roten ur negativa tal kan få få något mystiska resultat som exempelvis

$-1 = i*i = \sqrt{-1}*\sqrt{-1} = \sqrt{(-1)*(-1)} = \sqrt{1} = 1$

Stämmer inte riktigt, vi definierar faktiskt talet $i$ som $i=\sqrt{-1}$. Notera att $x^2+1=0$ har två lösningar, så vad är 'det tal' som uppfyller ekvationen?

Vanligtvis så när det gäller rötter av komplexa tal blir det lite lurigt. Vi låter det komplexa talet $z=re^{i\theta}$, och då gäller att $\sqrt{z}=\sqrt{r}e^{\frac{\theta}{2}i}$. Då får vi problem med flervärda funktioner på grund av periodiciteten av den komplexa exponential funktionen. 

Jag har verkligen aldrig varit med om att man definierar i som roten ut -1 i någon kurs. Vi använde bara att i^2=-1.

Laguna skrev:

$(-1)^{1/2}$ fungerar inte bättre. 

jo, det gör det.

a^n   a^m = a^(n+m) 
Reglerna för konstant bas fungerar även med komplexa tal . Men bara om man skriver med exponenter, inte rötter

Jag tycker att begreppet "bas" är endast definierad med exponent notation
??

Det funkar inte på det sättet du tror, även om det råkade bli rätt tolkning i det här exemplet. Ett komplext (eller negativt) tal upphöjt till något som inte är ett heltal har flera svar. (-1)^(1/2) tex blir både i och -i, det är en flervärd funktion.

Det som du skrev med rötter kan du lika gärna skriva med exponenter: $(-1)^{1/2}\cdot (-1)^{1/2} = (-1 \cdot -1)^{1/2} = 1$.

Den enkla förklaringen till detta är att potenslagarna inte är så allmängiltiga som vissa läroböcker och kurser ibland ger sken av. Potenslagen $a^x\cdot b^x=(ab)^x$ gäller inte nödvändigtvis då $x$ inte är ett heltal och talen $a$ och $b$ inte båda är positiva.

Det finns också fler logaritm- och potenslagar som leder till motsägelser för negativa/komplexa tal. Se avsnittet "Failure of power and logarithm identities på denna Wikipediasida:

https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Failure_of_power_and_logarithm_identities

Laguna skrev:

Det som du skrev med rötter kan du lika gärna skriva med exponenter: $(-1)^{1/2}\cdot (-1)^{1/2} = (-1 \cdot -1)^{1/2} = 1$.

Potenslagarna med konstant bas tillåter inte att man opererar på basen som du gjorde

Så jag anser att potenslagarna med konstant bas fungerar alltid
Man ska skriva dessa lagar med exponentsymbolik och inte med rötter.
Begreppet "bas" är definierad med exponentsymbolik och ej med rotsymbolik. Eller .. ??

Kan det var så här ?

$$\begin{gathered} \sqrt{-1} =\mathrm{i} \mathrm{eller} -\mathrm{i} \\ {(-1)}^{1/2 }= \mathrm{i} \mathrm{elller} -\mathrm{i} \end{gathered}$$

Om man vill ha ekvivalens mellan rot och exponent symbolik då får man precisera defintionsområdet:  reella tal eller komplexa tal

$\sqrt{1}= 1 \text{endast om def områdett är reella tal, annars är den 1 eller -1}$

AlvinB skrev:

Den enkla förklaringen till detta är att potenslagarna inte är så allmängiltiga som vissa läroböcker och kurser ibland ger sken av. Potenslagen $a^x\cdot b^x=(ab)^x$ gäller inte nödvändigtvis då $x$ inte är ett heltal och talen $a$ och $b$ inte båda är positiva.

https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Failure_of_power_and_logarithm_identities

Square roots of negative numbers Wikipedia som är kortare, om det jag pratar om

Jag går här mer till botten med detta. Den är ett av flera störande fällor i matematiken

Mackabi skrev:

Laguna skrev:

Det som du skrev med rötter kan du lika gärna skriva med exponenter: $(-1)^{1/2}\cdot (-1)^{1/2} = (-1 \cdot -1)^{1/2} = 1$.

Potenslagarna med konstant bas tillåter inte att man opererar på basen som du gjorde

Naturligtvis inte, det blir ju fel då. Du skrev en otillåten slutsats med rottecken och jag skrev samma med exponenter för att du sa att exponenter inte har det problemet. Vad är det du vill göra egentligen? 

Nej, $\sqrt{1}=1$ och inget annat. om a är icke-negativ gäller det att $\sqrt{a}$ är det positiva talet multiplicerat mig sig självt som producera talet a. 

Ekvationen $x^2-1$ har däremot lösningarna $x= \pm 1$.

Wikipedia Artikel: "principal square root"

Läsvärd.  Vad är t ex principal root för $\sqrt[3]{\text{i}} ?$

Jag anser att index symboliken är överlägsen rotsymboliken, eftersom indexsymboliken tillåter att exponenten kan vara vilket reellt tal som helst, medan rotsymboliken är endast positiva heltal, som 1,2,3...
Vidare är begreppet bas och exponent definierad med just index symbolik och inte rot symbolik

Mackabi skrev:

Wikipedia Artikel: "principal square root"

Läsvärd.  Vad är t ex principal root för $\sqrt[3]{\text{i}} ?$

Jag anser att index symboliken är överlägsen rotsymboliken, eftersom indexsymboliken tillåter att exponenten kan vara vilket reellt tal som helst, medan rotsymboliken är endast positiva heltal, som 1,2,3...
Vidare är begreppet bas och exponent definierad med just index symbolik och inte rot symbolik

Det är som att säga att använda exponenter är bättre än multiplikation (och varför kan du inte skriva exempelvis $\sqrt[\frac{7}{4}]{x}$ enligt dig?).

EDIT: Som tillägg, har du även frågan 'vad är t ex principal root för $\sqrt[3]{i}$'? Notera att du talar om något på formen $z^{\frac{1}{3}}$ medan wikipedia sidan bara talar om kvadratroten. Här verkar det vara en diskussion om ungefär det du frågar om.

$\sqrt[e]{5} \mathrm{tolka} \mathrm{detta} !$ eller vad sägs om $\sqrt[0]{20}$ ?
Aldrig sett den symboliken, men jag vill bara visa hur konstigt det kan bli...
Så jag föreslår index symboliken som vida överlägsen

.

Mackabi skrev:

Wikipedia Artikel: "principal square root"

Läsvärd.  Vad är t ex principal root för $\sqrt[3]{\text{i}} ?$

Jag anser att index symboliken är överlägsen rotsymboliken, eftersom indexsymboliken tillåter att exponenten kan vara vilket reellt tal som helst, medan rotsymboliken är endast positiva heltal, som 1,2,3...
Vidare är begreppet bas och exponent definierad med just index symbolik och inte rot symbolik

Båda behövs, det är jobbigt att skriva principalvärde framför varje gång om man bara skulle använda exponenter. Med roten utritad brukar man alltid mena principalroten så det används som 2 olika funktioner.

Mackabi skrev:

$\sqrt[e]{5} \mathrm{tolka} \mathrm{detta} !$ eller vad sägs om $\sqrt[0]{20}$ ?
Aldrig sett den symboliken, men jag vill bara visa hur konstigt det kan bli...
Så jag föreslår index symboliken som vida överlägsen

Om man använder den vanliga notationen $\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$ som verkar vara det du är bekymrad över så är det väl inga problem (den första iallafall, den andra är mer en definitionsfråga än något): $\sqrt[e]{5}=5^{\frac{1}{e}}\approx 1.81$.

Skrivsättet med rötter kan inte generaliseras till bråktal 

T ex $\sqrt[1/2]{\mathrm{a}}$

skulle betyda a^2 och det är ingen matematiker som skulle gilla.
Så jag hävdar att index symboliken är vida överlägsen rotsymboliken, som är intressant endast som historia.
Räknelagarna blir mycket enklare.

Mackabi skrev:

Skrivsättet med rötter kan inte generaliseras till bråktal 

T ex $\sqrt[1/2]{\mathrm{a}}$

skulle betyda a^2 och det är ingen matematiker som skulle gilla.
Så jag hävdar att index symboliken är vida överlägsen rotsymboliken, som är intressant endast som historia.
Räknelagarna blir mycket enklare.

Jag säger inte emot att jag inte tycker om notationen, utan föredrar exponenter generellt. Oftast används bara rottecknet för kvadratroten. Men bara för att man inte tycker om det betyder inte att det är fel.

Moffen skrev:

Jag säger inte emot att jag inte tycker om notationen, utan föredrar exponenter generellt. Oftast används bara rottecknet för kvadratroten. Men bara för att man inte tycker om det betyder inte att det är fel.

Potensbegreppet och symboliken är generaliserbar, men rotsymboliken är inte det
Skrivsättet $\sqrt[1/2]{\mathrm{a}}$ är nonsense. I så fall kan inte rotuttryck betraktas som inversoperationer till potentiering.

Potensbegreppet är generealiserbar, den ersätter både rotsymboliken och även division, t ex 3^-1 = ⅓

Vad handlar diskussionen om? Man kan uttrycka mer med exponentnotation än med rotnotation, ja, så är det. Är det allt?

Det börjar med Rot -1 problemet som kan ge en del huvudvärk.
Och sen utvecklas den diskussionen huruvida potenslagarna med exponent i st för rötter kan kurera detta huvudvärk

Och svaret är helt enkelt nej. Samma räkneregler gäller (om man inte använder rottecknet för principalrot, men det går med exponenter också) , så de problem du ser med rötter finns kvar om du byter notation.

$$\begin{gathered} \sqrt{-1} \sqrt{-1} =\mathrm{i} \mathrm{i} =-1 \\ \sqrt{-1} \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \mathrm{x}-1}=1 \end{gathered}$$

Euler själv skrev ibland den ena, ibland den andra varianten
Så att min fråga har en historia bakom.

Två potensregler (identiteter) sammanfaller här: exponential resp potensfunktionen
(a^n) (a^m) = a^(n+m) och den fallerar aldrig
a^n  b^n =(ab)^n
Den fallerar för negativ bas.  

Sen om man skriver med potens symbolik är samma slutsats. 
Tror jag nu.