Ställ upp en integral (Matematik/Matte 4/Integraler och tillämpningar)

Du förutsätter att det x som beräknar kurvans y motsvarar radien på varje tvärsnitt. Men radien mäts ju från x=2:

Skaft skrev:
Du förutsätter att det x som beräknar kurvans y motsvarar radien på varje tvärsnitt. Men radien mäts ju från x=2:

Jag förstår inte riktigt vad du menar...

Du integrerar med skivmetoden, som går ut på att man summerar volymen av tunna skivor. Arean av varje skiva är $A = \pi r^2$ , så du behöver ett uttryck för radien av varje skiva. Du har satt den radien till $y^2 / 8$ , vilket är sträckan x i min figur - inte radien r.

Skaft skrev:
Du integrerar med skivmetoden, som går ut på att man summerar volymen av tunna skivor. Arean av varje skiva är $A = \pi r^2$ , så du behöver ett uttryck för radien av varje skiva. Du har satt den radien till $y^2 / 8$ , vilket är sträckan x i min figur - inte radien r.

Vad är radien då? Jag tänker att x=2 får fungera som y-axeln, och att man sedan löser fram X och låter X vara radien. X som då motsvaras av y^2/8

Men kurvan $y = \sqrt{8x}$ är ju ritad från den vanliga y-axeln, inte från x=2. Så när du löser ut x från den ekvationen får du ett x-värde som är uppmätt från den vanliga y-axeln.

Skaft skrev:
Men kurvan $y = \sqrt{8x}$ är ju ritad från den vanliga y-axeln, inte från x=2. Så när du löser ut x från den ekvationen får du ett x-värde som är uppmätt från den vanliga y-axeln.

Okej, förstår inte riktigt. Hur ska jag få X-värde som är uppmätt från x=2?

Titta på bilden jag ritade. Om x är avståndet från y-axeln till en punkt på kurvan, och r är avståndet från punkten på kurvan till x=2, då gäller ju att $x+r = 2$ . Och isåfall blir radien $r = 2-x$ . Och vad x är i y har du redan löst ut!

Skaft skrev:
Titta på bilden jag ritade. Om x är avståndet från y-axeln till en punkt på kurvan, och r är avståndet från punkten på kurvan till x=2, då gäller ju att $x+r = 2$ . Och isåfall blir radien $r = 2-x$ . Och vad x är i y har du redan löst ut!

Okej, så om någonting ska rotera runt en linje, typ x=a, då blir alltid radien a-f(x)? Dvs ett slags övre funktion-nedre funktion tänk?

Mja, för det första är det en skillnad mellan x-värden, f(x) blir ett y-värde. Sen kan det ju också vara så att kurvans x-värde är större än x-värdet man roterar runt, då blir det r = x-a eftersom radien måste vara positiv om man ska vara korrekt.

Men försök vänja dig vid logiken istället för att memorera såna samband. Fundera på hur varje skiva ser ut (om det är skivmetoden som används). Markera radien i en figur, och klura sen på hur x eller y (som alltid mäts från origo) kan användas för att beskriva det avståndet.

Skaft skrev:
Mja, för det första är det en skillnad mellan x-värden, f(x) blir ett y-värde. Sen kan det ju också vara så att kurvans x-värde är större än x-värdet man roterar runt, då blir det r = x-a eftersom radien måste vara positiv om man ska vara korrekt.
Men försök vänja dig vid logiken istället för att memorera såna samband. Fundera på hur varje skiva ser ut (om det är skivmetoden som används). Markera radien i en figur, och klura sen på hur x eller y (som alltid mäts från origo) kan användas för att beskriva det avståndet.

Okej. I facit står det dock att radien ska vara y^2/8-2(?).

Då tycker jag facit slarvar. Sätt t.ex. y=1: 1^2/8 - 2 = -15/8. En radie kan inte vara negativ, för en radie är ett avstånd. Men beräkningsmässigt spelar det ingen roll, för i areaformeln tar man ju $\pi r^2$ . Radien gångras alltså med sig själv, och då blir det minus gånger minus, de tar ut varann. Så det blir rätt ändå, men radien borde uttryckas åt andra hållet: $2 - y^2 / 8$ .

Skaft skrev:
Då tycker jag facit slarvar. Sätt t.ex. y=1: 1^2/8 - 2 = -15/8. En radie kan inte vara negativ, för en radie är ett avstånd. Men beräkningsmässigt spelar det ingen roll, för i areaformeln tar man ju $\pi r^2$ . Radien gångras alltså med sig själv, och då blir det minus gånger minus, de tar ut varann. Så det blir rätt ändå, men radien borde uttryckas åt andra hållet: $2 - y^2 / 8$ .

Ah, tänkte inte på att det skulle ta ut varandra. Men med det i baktanke, kan man säga då att den korrekta radien i sådana här fall alltid kommer fås genom att ta antingen f(x)-a eller a-f(x)? Sen när man ska påbörja integralen får man ta (f(x)-a)^2?

Inte f(x). Om du roterar runt ett x-värde, så kommer dina x-värden på kurvan ges av en funktion av y. $y^2/8$ har ju y som variabel, inte x. Så låt oss vara ordentliga:

Du har en ritad kurva y = f(x) (i ditt exempel är $f(x) = \sqrt{8x}$ ).
Genom att lösa ut x får du fram att $x = f^{-1}(y)$ (i ditt fall är $f^{-1}(y) = y^2/8$ )
Om kurvan ska rotera runt x=a blir radien av en skiva $r=|a-f^{-1}(y)|$ , dvs. skillnaden mellan x-värdet på skivans mitt och ett x-värde på kurvan. Absolutbeloppet tvingar skillnaden att vara positiv, dvs. bara tar bort minustecknet om talet skulle vara negativt.
Om kurvan istället ska rotera runt y=b blir radien på motsvarande sätt $r=|b-f(x)|$ , dvs. skillnaden mellan y-värdet på skivans mitt och ett y-värde på kurvan.

Sen integrerar du $\pi r^2$ .

Skaft skrev:
Inte f(x). Om du roterar runt ett x-värde, så kommer dina x-värden på kurvan ges av en funktion av y. $y^2/8$ har ju y som variabel, inte x. Så låt oss vara ordentliga:
Du har en ritad kurva y = f(x) (i ditt exempel är $f(x) = \sqrt{8x}$ ).
Genom att lösa ut x får du fram att $x = f^{-1}(y)$ (i ditt fall är $f^{-1}(y) = y^2/8$ )
Om kurvan ska rotera runt x=a blir radien av en skiva $r=|a-f^{-1}(y)|$ , dvs. skillnaden mellan x-värdet på skivans mitt och ett x-värde på kurvan. Absolutbeloppet tvingar skillnaden att vara positiv, dvs. bara tar bort minustecknet om talet skulle vara negativt.
Om kurvan istället ska rotera runt y=b blir radien på motsvarande sätt $r=|b-f(x)|$ , dvs. skillnaden mellan y-värdet på skivans mitt och ett y-värde på kurvan.
Sen integrerar du $\pi r^2$ .

Ja okej. Så den generella lösningsmetoden för denna typen av problem blir alltså att man löser ut x, sedan subtraherar det man då fick x lika med, med a? Exempelvis då: a-f^-1(y)

Och för problem som roterar runt x-axeln blir det istället att man subtraherar det y är lika med från a? Exempelvis: a-f(x)

Typ så. Men försök rita upp det och tänka igenom stegen. Om du förstår varför man gör som man gör behöver du inte memorera.

Skaft skrev:
Typ så. Men försök rita upp det och tänka igenom stegen. Om du förstår varför man gör som man gör behöver du inte memorera.

Yes. Hade lite svårt att greppa det först men känns som jag hittat rätt nu. Tack för hjälpen!