3 svar
60 visningar
Zeus 604
Postad: 3 apr 2022 11:56

Stämmer ekvivalensen?

Hej! Stämmer ekvivalensen?

a^2 = b    ↔    a = ± sqrt(b)    ↔    ± a = sqrt(b)

Likheten längst till höger är jag tveksam över, eftersom roten av ett tal aldrig är negativt. Men jag förstår inte varför det inte skulle stämma, det enda jag gjorde var att flytta ± till andra ledet.

Yngve 38620 – Livehjälpare
Postad: 4 apr 2022 08:14

Ja, ekvivalensen stämmer, vilket du enkelt kan visa på följande sätt:

Vi har a=±ba=\pm\sqrt{b}, vilket vi kan dela upp i de två fallen

a=ba=\sqrt{b} och a=-ba=-\sqrt{b}

Det andra fallet är identiskt med -a=b-a=\sqrt{b}.

Om vi nu sätter ihop dessa båda fall igen så får vi ±a=b\pm a=\sqrt{b}.

Invändningen att b\sqrt{b} inte kan vara ett negativt tal är inte relevant eftersom -a-a inte nödvändigtvis måste vara ett negativt tal.

Zeus 604
Postad: 5 apr 2022 08:16
Yngve skrev:

Invändningen att b\sqrt{b} inte kan vara ett negativt tal är inte relevant eftersom -a-a inte nödvändigtvis måste vara ett negativt tal.

Men oavsett värde på a kommer ±a ha ett positivt och ett negativt värde. Du säger att -a inte nödvändigtvis är negativt, men i så fall måste a vara negativt.

Min förvirring kanske bottnar i hur man valt att definiera kvadratroten ur ett tal. Man säger ju att kvadratroten inte kan ha negativa svar. Men mitt första inlägg visar ju att det kan de visst.

Yngve 38620 – Livehjälpare
Postad: 5 apr 2022 09:38

Det stämmer att b\sqrt{b} är ett positivt tal (om b0b\neq0).

Jag tror att du kanske förvirras av symbolen ±\pm.

Den betyder här helt enkelt att ekvationen a2=ba^2=b har två lösningar, nämligen a1=ba_1=\sqrt{b} och a2=-ba_2=-\sqrt{b}.

Här är a1a_1 uppenbarligen ett positivt tal medan a2a_2 är ett negativt tal.

Vi kan lika gärna skriva ±a=b\pm a=\sqrt{b}, dvs a1=ba_1=\sqrt{b} och -a2=b-a_2=\sqrt{b}. Även här är a1a_1 ett positivt tal och a2a_2 ett negativt tal.


Tillägg: 5 apr 2022 14:21

Förtydligande: Det gäller att b\sqrt{b} är ett positivt tal om bb > 0.

Svara Avbryt
Close